Phương trình lôgarit là phương trình tất cả chứa ẩn số vào biểu thức dưới vết lôgarit.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình mũ và logarit có đáp án

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Các bước giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về thuộc cơ số

* bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* cách 2. Sử dụng định nghĩa cùng các đặc điểm của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về thuộc cơ số.

* bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ phiên bản đã biết phương pháp giải.

* bước 4. Kiểm tra đk và kết luận.

Ví dụ 1: Tính những giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa

Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x vào hệ phương trình nhằm thu được phương trình ẩn t, giải pt này search t, từ kia tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• bước 2: Tìm đk của t (nếu có).

• cách 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã hiểu phương pháp giải.

•Bước 4: nuốm vào (*) để tìm x.

Một số để ý quan trọng khi đổi mới đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: sử dụng tính 1-1 điệu để giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình bao gồm dạng f(x) = g(x) (*)

• bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm bên cạnh 0).

• bước 2: Xét những hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần minh chứng một hàm đồng đổi mới và một hàm nghịch biến hóa hoặc một hàm 1-1 điệu với một hàm ko đổi. Lúc đó (C1) cùng (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất gồm hoành độ x0. Đó đó là nghiệm nhất của phương trình (*).

Hoặc chuyển phương trình về dạng f(x) = 0

• bước 1: Nhẩm được nhì nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm sát bên 0).

• cách 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng tỏ f"(x) = 0 có nghiệm duy nhất với f"(x) đổi vệt khi trải qua nghiệm đó. Từ trên đây suy ra phương trình f(x) = 0 có khá nhiều nhất nhị nghiệm.

Hoặc:

• bước 1: thay đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• bước 2: minh chứng hàm f(x)là hàm 1-1 điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình tất cả một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, đề xuất f(x) đồng trở nên trên tập xác minh ;g(x)=2là hàm hằng. Yêu cầu phương trình đã cho bao gồm một nghiệm nhất x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng thay đổi trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến chuyển trên tập xác định. Nên phương trình đang cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t tất cả f"(t) > 0 cần hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình sẽ cho bao gồm tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: cách giải phương trình logarit đựng tham số

♦ Dạng toán kiếm tìm m để phương trình tất cả số nghiệm mang lại trước:

• cách 1. Tách bóc m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

• cách 2. Khảo sát điều tra sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

• bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• cách 4. Kết luận những giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc gồm k nghiệm) trên D.

♦ lưu ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá chỉ trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bên trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu thương cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao để cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng đk có nghiệm của phương trình bậc hai với chú ý sau.

♦ kể lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc sử dụng định lí hòn đảo về vết tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm thông số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 gồm nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Khi ấy phương trình trở thành t2+t+m=0 (*)

Phương trình đã cho bao gồm nghiệm lúc phương trình (*) tất cả nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Từ Bài Bàn Luận Về Phép Học Của La Sơn Phu, Văn Mẫu 8: Tử

Ví dụ 2: Tìm thông số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.