A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức côsi lớp 10

1. Định nghĩa :

Cho

*
là nhị số thực. Các mệnh đề
*
là mệnh đề chứ thay đổi thì
*
B""" />là mệnh đề chứa biến. Minh chứng bất đẳng thức
*
B" />(với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề chứa biến
*
B""" />đúng với tất cả các quý hiếm của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Lúc nói ta bao gồm bất đẳng thức
*
B" />mà ko nêu điều kiện đối với các biến hóa thì ta hiểu rằng bất đẳng thức kia xảy ra với tất cả giá trị của đổi thay là số thực.

2. đặc thù :

*

*
b" />và
*
cRightarrow a>c" />

*

*
bLeftrightarrow a+c>b+c" />

*

*
b" />và
*
dRightarrow a+c>b+d" />

* Nếu

*
0" />thì
*
bLeftrightarrow ac>bc" />

Nếu

*
bge 0Rightarrow sqrta>sqrtb" />

*

*

*

*
bge 0Rightarrow a^n>b^n" />

3. Bất đẳng thức về quý hiếm tuyệt đối.

*

*
với đầy đủ số thực
*
.

*

*
0" />).

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với hai số ko âm

Cho

*
, ta có
*
. Dấu ‘=’ xảy ra khi còn chỉ khi
*
.

Hệ quả:

* nhì số dương tất cả tổng không đổi thì tích lớn nhất lúc hai số đó bởi nhau

* nhì số dương tất cả tích không đổi thì tổng bé dại nhất khi nhì số đó bằng nhau

b) Đối với bố số ko âm

Cho

*
, ta có
*
abc" />. Dấu ‘=’ xẩy ra khi và chỉ còn khi
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Cách thức giải.

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT)

*
ta rất có thể sử dụng những cách sau:

Ta đi hội chứng minh

*
. Để chứng tỏ nó ta hay sử dụng các hằng đẳng thức nhằm phân tích
*
thành tổng hoặc tích của không ít biểu thức không âm.

Xuất phát từ BĐT đúng, thay đổi tương đương về BĐT bắt buộc chứng minh.

2.Các ví dụ như minh họa.

Loại 1:Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1:Cho nhị số thực

*
. Minh chứng rằng các bất đẳng thức sau

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

Lời giải:

a) Ta có

*
. Đẳng thức
*
.

b) Bất đẳng thức tương đương với

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

c) BĐT tương đương

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

d) BĐT tương đương

*

*
*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

Nhận xét:Các BĐT bên trên được vận dụng nhiều, với được xem như là “bổ đề” trong minh chứng các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:Cho năm số thực

*
. Chứng tỏ rằng
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*

*
đpcm.

Đẳng thức xảy ra

*
.

Loại 2:Xuất phát xuất phát từ 1 BĐT đúng ta chuyển đổi đến BĐT phải chứng minh

Đối với các loại này thường cho giải mã không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi những biến bao hàm ràng buộc sệt biệt

* chăm chú hai mệnh đề sau thường dùng

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( a-eta ight)le 0" />
*

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( b-alpha ight)left( c-alpha ight)+left( eta -a ight)left( eta -b ight)left( eta -c ight)ge 0left( ** ight)" />

Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài cha cạnh tam giác. Chứng tỏ rằng:

*
cRightarrow ac+bc>c^2" />. Tương tự

*
b^2; ext ca+cb>c^2" />cộng ba BĐT đó lại với nhau ta gồm đpcm

Nhận xét:*Ở trong bài toán trên ta đã khởi đầu từ BĐT đúng đó là đặc điểm về độ dài cha cạnh của tam giác. Sau đó vì cần mở ra bình phương đề nghị ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu bắt nguồn từ BĐT

*
" />. Triệu chứng minh:
*

Lời giải:

Cách 1:Vì

*
Rightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)ge 0" />

*
(*)

Ta có:

*
nên tự (*) ta suy ra

*
đpcm.

Cách 2:BĐT cần chứng tỏ tương đương với

*

Mà

*
" />
*
do đó:

*

Ta chỉ việc chứng minh

*

Thật vậy: vì

*
" />nên theo thừa nhận xét
*
ta có

*
*
*

*
*

Vậy BĐT lúc đầu được bệnh minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1.Phương pháp giải.

Một số chú ý khi áp dụng bất đẳng thức côsi:

* Khi vận dụng bđt côsi thì các số đề nghị là rất nhiều số ko âm

* BĐT côsi thường được áp dụng khi vào BĐT cần chứng tỏ có tổng với tích

* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có hiệ tượng khác thường tuyệt sử dụng

Đối với nhì số:

*
.

Đối với ba số:

*

2.Các lấy ví dụ minh họa.

Loại 1:Vận dụng thẳng bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:Cho

*
là số dương thỏa mãn
*
. Minh chứng rằng

a)

*
b)
*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

*

Suy ra

*
(1)

Mặt khác ta có

*
(1)

Từ (1) với (2) suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

*
.

b) Ta có

*

Áp dụng BĐT côsi ta có

*

và

*
*

Suy ra

*
*

Do đó

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

*
.

Ví dụ 2:Cho

*
là số dương. Chứng tỏ rằng

a)

*

b)

*

c)

*
abc ight)}^3}" />

d)

*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

*

Suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

b) Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có

*
, giống như ta có
*

Suy ra

*

Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

*

Suy ra

*
. ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

c) Ta có

*
*

Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

*
ab.bc.ca=3left( sqrt<3>abc ight)^2" />và
*
abc" />

Suy ra

*
*
abc ight)}^2}+3sqrt<3>abc+abc=left( 1+sqrt<3>abc ight)^3" />ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

d) Áp dụng BĐT côsi mang đến hai số dương ta có

*
*

Suy ra

*
*
(1)

Mặt không giống theo BĐT côsi cho ba số dương ta có

*
*

*
*

Suy ra

*
(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

Xem thêm: Tích 10 Số Tự Nhiên Đầu Tiên Bằng Bao Nhiêu, Tích Của 10 Số Tự Nhiên Đầu Tiên Bằng Bao Nhiêu

Để chứng minh BĐT ta thường phải chuyển đổi (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để chế tác biểu thức rất có thể giản cầu được sau khoản thời gian áp dụng BĐT côsi.Khi chạm mặt BĐT tất cả dạng
*
(hoặc
*
), ta hay đi hội chứng minh
*
(hoặc
*
), xây dựng các BĐT tựa như rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều đề xuất chứng minh.Khi bóc và áp dụng BĐT côsi ta phụ thuộc việc bảo vệ dấu bằng xảy ra(thường lốt bằng xẩy ra khi những biến cân nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 5:Cho

*
là số dương. Chứng tỏ rằng: