A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Bạn đang xem: Bất đẳng thức côsi lớp 10
1. Định nghĩa :
Cho






2. đặc thù :
*


*

*


* Nếu


Nếu

*

*

3. Bất đẳng thức về quý hiếm tuyệt đối.
*


*

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và vừa đủ nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số ko âm
Cho



Hệ quả:
* nhì số dương tất cả tổng không đổi thì tích lớn nhất lúc hai số đó bởi nhau
* nhì số dương tất cả tích không đổi thì tổng bé dại nhất khi nhì số đó bằng nhau
b) Đối với bố số ko âm
Cho



B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
1. Cách thức giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT)

Ta đi hội chứng minh


Xuất phát từ BĐT đúng, thay đổi tương đương về BĐT bắt buộc chứng minh.
2.Các ví dụ như minh họa.
Loại 1:Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1:Cho nhị số thực

a)


c)


Lời giải:
a) Ta có


b) Bất đẳng thức tương đương với


Đẳng thức xảy ra

c) BĐT tương đương


Đẳng thức xảy ra

d) BĐT tương đương



Đẳng thức xảy ra

Nhận xét:Các BĐT bên trên được vận dụng nhiều, với được xem như là “bổ đề” trong minh chứng các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2:Cho năm số thực


Lời giải:
Ta có:



Đẳng thức xảy ra

Loại 2:Xuất phát xuất phát từ 1 BĐT đúng ta chuyển đổi đến BĐT phải chứng minh
Đối với các loại này thường cho giải mã không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi những biến bao hàm ràng buộc sệt biệt
* chăm chú hai mệnh đề sau thường dùng



Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài cha cạnh tam giác. Chứng tỏ rằng:


Nhận xét:*Ở trong bài toán trên ta đã khởi đầu từ BĐT đúng đó là đặc điểm về độ dài cha cạnh của tam giác. Sau đó vì cần mở ra bình phương đề nghị ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu bắt nguồn từ BĐT


Lời giải:
Cách 1:Vì


Ta có:


Cách 2:BĐT cần chứng tỏ tương đương với

Mà



Ta chỉ việc chứng minh

Thật vậy: vì







Vậy BĐT lúc đầu được bệnh minh.
DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
1.Phương pháp giải.
Một số chú ý khi áp dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi vận dụng bđt côsi thì các số đề nghị là rất nhiều số ko âm
* BĐT côsi thường được áp dụng khi vào BĐT cần chứng tỏ có tổng với tích
* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhau
* Bất đẳng thức côsi còn có hiệ tượng khác thường tuyệt sử dụng
Đối với nhì số:

Đối với ba số:

2.Các lấy ví dụ minh họa.
Loại 1:Vận dụng thẳng bất đẳng thức côsi
Ví dụ 1:Cho


a)


Lời giải:
a) Áp dụng BĐT côsi ta có

Suy ra

Mặt khác ta có

Từ (1) với (2) suy ra

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

b) Ta có

Áp dụng BĐT côsi ta có

và


Suy ra


Do đó

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi

Ví dụ 2:Cho

a)

b)

c)

d)

Lời giải:
a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

b) Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có


Suy ra

Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

Suy ra

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

c) Ta có


Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có


Suy ra


Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

d) Áp dụng BĐT côsi mang đến hai số dương ta có


Suy ra


Mặt không giống theo BĐT côsi cho ba số dương ta có




Suy ra

Từ (1) cùng (2) suy ra

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.
Xem thêm: Tích 10 Số Tự Nhiên Đầu Tiên Bằng Bao Nhiêu, Tích Của 10 Số Tự Nhiên Đầu Tiên Bằng Bao Nhiêu
Để chứng minh BĐT ta thường phải chuyển đổi (nhân chia, thêm, sút một biểu thức) để chế tác biểu thức rất có thể giản cầu được sau khoản thời gian áp dụng BĐT côsi.Khi chạm mặt BĐT tất cả dạng



Ví dụ 5:Cho
