2-Một số phương thức và bài xích toán tương quan đến phương trình bậc hai áp dụng công thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau.
3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất đẳng thức.
B- NỘI DUNG
PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức tuyệt dùng
Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 7
Bạn vẫn xem 20 trang chủng loại của tư liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trên
Xem thêm: Ví Dụ Về Bất Phương Trình Một Ẩn, Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn
Chuyên đề: Bất đẳng thứca.mục tiêu:1-Học sinh nắm rõ một số phương thức chứng minh bất đẳng thức.2-Một số phương pháp và bài toán tương quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm sẽ cho học viên học sau.3-Rèn kĩ năng và pp chứng tỏ bất đẳng thức.B- câu chữ Phần 1 : các kiến thức cần để ý 1- Định nghĩa 2- đặc thù 3-Một số hằng bất đẳng thức hay sử dụng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- cách thức dùng đổi khác tương đương 3- cách thức dùng bất đẳng thức thân thuộc 4- phương pháp sử dụng tính chất bắc mong 5- phương thức dùng đặc thù tỉ số 6- phương pháp làm trội 7- phương thức dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- cách thức đổi trở thành số 9- cách thức dùng tam thức bậc nhị 10- phương thức quy nạp 11- phương thức phản chứng Phần 3 :các bài tập cải thiện PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức 1- cần sử dụng bất đẳng thức để tìm rất trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyênPhần I : các kiến thức đề xuất lưu ý1-Đinhnghĩa2-tính hóa học + A>B + A>B cùng B >C + A>B A+C >B + C + A>B cùng C > D A+C > B + D + A>B cùng C > 0 A.C > B.C + A>B và C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0) + ( dấu = xẩy ra khi A.B B Ta chứng minh A –B > 0 để ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M lấy một ví dụ 1 " x, y, z chứng tỏ rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z do (x-y)2 0 với"x ; y vệt bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z dấu bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vệt bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx dấu bằng xẩy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với tất cả x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với tất cả x;y;z dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: chứng minh rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài bác toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy vệt bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại quá trình để chứng tỏ AB theo định nghĩa cách 1: Ta xét hiệu H = A - B cách 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F) bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) minh chứng "m,n,p,q ta đều phải sở hữu m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi phương thức 2 : dùng phép biến đổi tương đươngLưu ý: Ta chuyển đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương cùng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được minh chứng là đúng. Chăm chú các hằng đẳng thức sau: lấy ví dụ 1: mang lại a, b, c, d,e là các số thực chứng tỏ rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xẩy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy vết bằng xảy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều cần chứng minhVí dụ 2: chứng tỏ rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải minh chứng Ví dụ 3: đến x.y =1 và x.y minh chứng Giải: vày :xy yêu cầu x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 bởi x.y=1 đề nghị 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta gồm điều đề nghị chứng minhVí dụ 4: 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba số thực không giống không x, y, z thỏa mãn: chứng minh rằng :có đúng 1 trong các ba số x,y,z to hơn 1 (đề thi Lam đánh 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì1 x.y.z>1 xích míc gt x.y.z=1 yêu cầu phải xẩy ra trường đúng theo trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Phư ơng pháp 3: cần sử dụng bất đẳng thức quen thuộcA/ một trong những bất đẳng thức hay cần sử dụng 1) các bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: trường hợp Nếu lốt bằng xảy ra khib/ các ví dụ ví dụ 1 đến a, b ,c là các số ko âm minh chứng rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: giải pháp 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc dấu “=” xẩy ra khi a = b = cví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 cùng a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y thỏa mãn nhu cầu ;CMR: x+y lấy ví dụ như 3: mang lại a>b>c>0 và minh chứng rằng Giải: bởi vì a,b,c đối xứng ,giả sử abc vận dụng BĐT Trê- bư-sép ta tất cả == Vậy vệt bằng xẩy ra khi a=b=c= ví dụ như 4: mang lại a,b,c,d>0 với abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải:Ta có Do abcd =1 buộc phải cd = (dùng ) Ta bao gồm (1) mặt khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy lấy một ví dụ 5: cho 4 số a,b,c,d ngẫu nhiên chứng minh rằng: Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd cơ mà ví dụ 6: minh chứng rằng Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giải pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 3 Điều phải minh chứng Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPh ương pháp 4: Sử dụng đặc thù bắc cầuL ưu ý: A>B cùng b>c thì A>c 00 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d chứng minh rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều cần chứng minh)ví dụ 2: mang lại a,b,c>0 thỏa mãn chứng tỏ Giải: Ta bao gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế mang lại abc > 0 ta có ví dụ 3 đến 0 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vì a>0 , b>0 yêu cầu ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d(Điều đề nghị chứng minh)ví dụ 41- cho 0 0 1+ > + b nhưng mà 0 , > từ (1) và (2) 1+> + Vậy + 0 thì từ ` lấy ví dụ 1 : cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo đặc điểm của tỉ trọng thức ta tất cả (1) ngoài ra : (2) từ bỏ (1) cùng (2) ta tất cả 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1 vị đó: ví dụ như 2 : minh chứng rằng: cùng với n là số nguyên Giải :Ta gồm Khi đến k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2 cùng từng vế các bất đẳng thức bên trên ta gồm Ví dụ 3 : chứng tỏ rằng Giải: Ta tất cả Cho k chạy từ 2 đến n ta có Vậy Ph ương pháp 7: dùng bất đẳng thức trong tam giácLưu ý: nếu như a;b;clà số đo cha cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 và |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác đề xuất ta bao gồm ị cộng từng vế những bất đẳng thức bên trên ta có a2+b2+c2 ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ùị > 0 c > ờa-b ùị Nhân vế các bất đẳng thức ta đượcVí dụ2: (404 – 1001) 1) mang đến a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác chứng tỏ rằng 2) mang đến a,b,c là chiều dài bố cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 chứng minh rằng Ph ương pháp 8: đổi đổi mới sốVí dụ1: mang đến a,b,c > 0 chứng minh rằng (1)Giải :Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta bao gồm a= ; b = ; c =ta bao gồm (1) ( Bất đẳng thức ở đầu cuối đúng bởi ( ; cần ta gồm điều phải chứng minh Ví dụ2: đến a,b,c > 0 và a+b+c 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR Ph ương pháp 9: sử dụng tam thức bậc haiLưu ý : mang lại tam thức bậc hai nếu như thì giả dụ thì trường hợp thì với hoặc () cùng với Ví dụ1: chứng minh rằng (1) Giải: Ta tất cả (1) Vậy với tất cả x, yVí dụ2: chứng minh rằngGiải: Bất đẳng thức cần minh chứng tương đương cùng với Ta có Vì a = vậy (đpcm) Ph ương pháp 10: sử dụng quy hấp thụ toán họcKiến thức: Để chứng tỏ bất đẳng thức đúng cùng với ta thực hiện các bước sau : 1 – đánh giá bất đẳng thức đúng với 2 - trả sử BĐT đúng cùng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được call là trả thiết quy hấp thụ ) 3- Ta chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng tỏ rồi đổi khác để sử dụng giả thiết quy nạp) 4 – tóm lại BĐT đúng với tất cả Ví dụ1: chứng tỏ rằng (1) Giải : với n =2 ta tất cả (đúng) Vậy BĐT (1) đúng cùng với n =2 mang sử BĐT (1) đúng cùng với n =k ta phải minh chứng BĐT (1) đúng cùng với n = k+1 thật vậy lúc n =k+1 thì (1) Theo đưa thiết quy hấp thụ k2+2k 0 chứng tỏ rằng (1)GiảiTa thấy BĐT (1) đúng cùng với n=1Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng tỏ BĐT đúng với n=k+1Thật vậy với n = k+1 ta tất cả (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta chứng minh (3) (+) đưa sử a b và giả thiết cho a -b a (+) trả sử a 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : đưa sử a 0 thì tự abc > 0 a 0 cho nên a 0 với a 0 a(b+c) > -bc > 0 vì chưng a 0 b + c 0 giống như ta tất cả b > 0 , c > 0 lấy một ví dụ 2: cho 4 số a , b , c ,d vừa lòng điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có tối thiểu một trong các bất đẳng thức sau là sai: , Giải : mang sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào lúc đó cộng những vế ta được (1) Theo trả thiết ta tất cả 4(b+d) 2ac (2) trường đoản cú (1) và (2) hay (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức và có tối thiểu một các bất đẳng thức saiVí dụ 3: đến x,y,z > 0 với xyz = 1. Minh chứng rằng nếu như x+y+z > thì có 1 trong các ba số này lớn hơn 1 Giải : Ta gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () do xyz = 1 theo mang thiết x+y +z > yêu cầu (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một vài dương thật vậy ví như cả tía số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái mang thiết) Còn trường hợp 2 trong 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiảiTa tất cả hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 với a3 > 36 phải a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều đề nghị chứng minh2) chứng tỏ rằng a) b) với mọi số thực a , b, c ta có c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta gồm điều phải chứng tỏ b) Vế trái có thể viết H = H > 0 ta bao gồm điều phải chứng minh c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta có điều đề nghị chứng minhIi / Dùng đổi khác tương đương 1) mang lại x > y và xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta tất cả (vì xy = 1) cho nên vì vậy BĐT cần minh chứng tương đương với BĐT cuối đúng đề xuất ta có điều buộc phải chứng minh2) đến xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có BĐT cuối này đúng vì xy > 1 .Vậy ta gồm điều đề xuất chứng minhIii / cần sử dụng bất đẳng thức phụ 1) đến a , b, c là những số thực cùng a + b +c =1 minh chứng rằng Giải : vận dụng BĐT BunhiaCôpski mang lại 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) cho a,b,c là những số dương chứng tỏ rằng (1) Giải : (1) áp dụng BĐT phụ cùng với x,y > 0 Ta có BĐT sau cùng luôn đúng Vậy (đpcm)Iv / dùng phương thức bắc ước 1) mang đến 0 0 .Chứng minh rằng : Giải : bởi a ,b ,c ,d > 0 đề nghị ta có (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta tất cả : (đpcm) 2) mang lại a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác chứng tỏ rằng Giải : vì chưng a ,b ,c là số đo bố cạnh của tam giác buộc phải ta tất cả a,b,c > 0 với a 0 cùng x+y+z =1 Giải : bởi x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến x+y ; y+z ; x+z ta gồm Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có giá trị lớn nhất là lúc x=y=z= lấy ví dụ như 3 : đến xy+yz+zx = 1 Tìm giá trị nhỏ dại nhất của Giải : áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang đến 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta tất cả (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại () với (1,1,1) Ta bao gồm Từ (1) cùng (2) Vậy có giá trị nhỏ dại nhất là khi x=y=z= ví dụ 4 : vào tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất Giải : call cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta bao gồm S = vì chưng a ko đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn nhất khi x.y lớn số 1 Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn duy nhất Ii/ dùng b.đ.t nhằm giải phương trình với hệ phương trình lấy ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta tất cả Vậy vết ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình tất cả nghiệm duy nhất x = -1 ví dụ như 2 : Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta có : lốt (=) xảy ra khi x = một mặt khác dấu (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 cùng y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy một ví dụ 3 : Giải hệ phương trình sau: Giải : vận dụng BĐT Côsi ta bao gồm Vì x+y+z = 1) buộc phải Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy có nghiệm x = y = z = lấy ví dụ như 4 : Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) xuất xắc Từ phương trình (2) giả dụ x = thì y = 2 nếu như x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình bao gồm nghiệm và Iii/ sử dụng B.Đ.t nhằm giải phương trình nghiệm nguyên 1) Tìm các số nguyên x,y,z hài lòng Giải : do x,y,z là những số nguyên cần (*) Mà các số x,y,z phải tìm là lấy ví dụ như 2: kiếm tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải : ko mất tính tổng quát ta trả sử Ta gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1Thay z = 1 vào phương trình ta được Theo trả sử xy yêu cầu 1 = cơ mà y nguyên dương đề xuất y = 1 hoặc y = 2 với y = 1 không thích hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là 1 trong những nghiệm của phương trình Hoán vị các số trên ta được những nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) lấy ví dụ 3 : Tìm các cặp số nguyên toại ý phương trình (*) Giải : (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta tất cả Đặt (k nguyên dương bởi vì x nguyên dương ) Ta gồm Nhưng mà lại giữa k cùng k+1 là nhì số nguyên dương thường xuyên không tồn tại một trong những nguyên dương làm sao cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào tán thành phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm độc nhất vô nhị là :