Bạn ao ước giải được các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông thì các bạn cần nắm rõ được 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhị lập phương và hiệu nhì lập phương. Để xem thêm về các hằng đẳng thức này, bọn họ cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết dưới đây.
Bạn đang xem: Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng
Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng nhị lần tích của số trước tiên và số thiết bị hai, kế tiếp cộng cùng với bình phương của số đồ vật hai.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Ví dụ:
a) Tính ( a + 2)2.
b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 bên dưới dạng bình phương của một tổng.
Lơi giải:
a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.
b) Ta tất cả x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.
2. Bình phương của một hiệu
Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số đầu tiên trừ đi hai lần tích của số đầu tiên và số trang bị hai, tiếp nối cộng với bình phương của số máy hai.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ví dụ: Tính (3x -y)2
Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2
3. Hiệu của hai bình phương
Hiệu nhì bình phương nhì số bởi tổng hai số đó, nhân cùng với hiệu hai số đó.
a2 – b2 = (a-b)(a+b)
Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)
Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4
4. Lập phương của một tổng
Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số trang bị nhất, cùng với bố lần tích bình phương số đầu tiên nhân số thứ hai, cộng với bố lần tích số trước tiên nhân cùng với bình phương số vật dụng hai, rồi cùng với lập phương của số thiết bị hai.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3
(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
Lập phương của một hiệu hai số bởi lập phương của số trang bị nhất, trừ đi cha lần tích bình phương của số đầu tiên nhân với số thứ hai, cộng với bố lần tích số thứ nhất nhân cùng với bình phương số vật dụng hai, sau đó trừ đi lập phương của số thiết bị hai.
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ví dụ: Tính (x – 3)3
(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27
6. Tổng nhị lập phương
Tổng của nhị lập phương nhì số bởi tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu nhị số đó.
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu nhì lập phương
Hiệu của hai lập phương của hai số bởi hiệu nhì số đó nhân cùng với bình phương thiếu hụt của tổng của nhì số đó.
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ví dụ:
a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu nhị lập phương
Hướng dẫn:
a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta gồm : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.
Hệ quả hằng đẳng thức
Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên thì họ còn bao gồm hệ trái của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến hóa lượng giác chứng tỏ đẳng thức, bất đẳng thức,…
Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 2
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bcHệ quả với hằng đẳng thức bậc 3
a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)Hệ quả tổng quát
an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức
(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abcCác dạng bài bác tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Dạng 1: Tính giá trị của những biểu thức.
Tính quý hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
Lời giải.
Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
Dạng 2: chứng minh biểu thức A mà lại không phụ thuộc biến.
Ví dụ: chứng tỏ biểu thức sau không dựa vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
Lời giải.
Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không dựa vào vào biến đổi x.
Dạng 3: Áp dụng để tìm giá bán trị nhỏ dại nhất với giá trị lớn nhất của biểu thức.
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
Ta tất cả : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 tuyệt A ≥ 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, lốt “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 tốt x = 1
⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
Dạng 4: minh chứng đẳng thức bởi nhau.
Ví dụ: Tính giá bán trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
Lời giải:
Ta bao gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
Vì (x – 2)2 ≥ 0 với đa số x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4
⇔ A ≤ 4 dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 tuyệt x = 2
⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
Dạng 5: chứng tỏ bất đẳng thức
Ví dụ: chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Lời giải:
Đối với dạng toán này bọn chúng ta biến hóa VT = VP hoặc VT = A cùng VP = A
Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Dạng 6: Phân tích nhiều thức thành nhân tử.
Xem thêm: Phan Tích Nhân Vật Mị Trong Bài Vợ Chồng A Phủ " Của Tô Hoài
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
Lời giải:
Ta bao gồm : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức>
= (x2 – 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Dạng 7: Tìm quý giá của x
Ví dụ:Tìm quý giá củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
Hy vọng cùng với những kiến thức và kỹ năng về 7 hằng đẳng thức kỷ niệm và những dạng bài tập thường chạm chán mà cửa hàng chúng tôi vừa share có thể giúp bạn áp dụng vào bài tập nhé