phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ phương trình siêng đề luyện thi Đại học tập môn Toán Ôn tập môn Toán việc hệ phương trình khả năng giải toán phương trình


Bạn đang xem: Các dạng hệ phương trình luyện thi đại học

*
pdf

bài giảng Tin học ứng dụng nâng cao: Giải phương trình và hệ phương trình - Lê Viết Mẫn


*
pdf

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao bởi


*
pdf

Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc




Xem thêm: Lộ Tòng Kim Dạ Bạch, Nguyệt Thị Cố Hương Minh., ” Lộ Tòng Kim Dạ Bạch, Nguyệt Thị Cố Hương Minh

Nội dung

www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham khảo tập san THTT 2010Trong các đề thi đh những năm ngay gần đây, ta chạm mặt rất nhiều vấn đề về hệphương tr ình. Nhằm giúp chúng ta ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin ra mắt một sốdạng bài và kĩ năng giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.Đặc điểm thông thường của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng chuyển đổi đồng duy nhất đặcbiệt là kĩ năng phân tích nhằm mục tiêu đưa một PT trong hệ về dạng dễ dàng và đơn giản ( hoàn toàn có thể rút theoy hoặc ngược lại ) rồi cố kỉnh vào PT sót lại trong hệ.*Loại sản phẩm công nghệ nhất: trong hệ gồm một phương trình số 1 với ẩn x hoặc y khi đó ta tìmcách rút y theo x hoặc ngược lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1thay vào (1) taGiải. Thường thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) đề xuất từ (2) ta gồm : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được những nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại vật dụng hai: Một phương trình trong hệ hoàn toàn có thể đưa về dạng tích của các phương trìnhbậc độc nhất vô nhị hai ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( trường đoản cú điều kiệnta tất cả x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 nạm vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( do y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại vật dụng ba: Đưa một phương trình vào hệ về dạng phương trình bậc nhị của một ẩn,ẩn sót lại là tham số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011Coi PT (2) là phương trình ẩn y thông số x ta bao gồm D " = 9 x 2 từ kia ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay vào từng phương trình hoặc lộ diện sau một phép đổi khác hằng đẳng thức cơbản hoặc phép phân chia cho một biểu thức khác 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 yVí dụ 4. Giải hệ phương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 không thỏa mãn PT(1) đề xuất HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta gồm hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này chúng ta đọc hoàn toàn có thể giải dễ dàng.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïVí dụ 5. Giải hệ phương trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều kiện : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( vì a ³ 2 ) từ đó ta gồm hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐHệ nhiều loại này ta gặp nhiều ở nhị dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơnđiệu trên tập D cùng x, y trực thuộc D .Nhiều lúc ta phải phải review ẩn x, y nhằm x, y trực thuộc tậpmà hàm f đơn điệu* các loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ bao gồm dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lạigiúp ta số lượng giới hạn x, y ở trong tập D để trên để trên đó hàm f solo điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Từ PT (2) ta bao gồm x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> gồm f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t do đó hàm số f (t ) đồngbiến bên trên RNên PT (3) Û a = b chũm vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo nhận xét bên trên thì a + a 2 + 1 > 0 bắt buộc PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( đem ln nhị vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại học tập 20111- ln 3 2 trường đoản cú (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ sẽ cho tương đương với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 với = -9 (loại). Với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều khiếu nại x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) có t 2 + t - 2 = 0 với t = log y x .()()æ3öa) với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) với log y x = -2 , ta được x = 2 . Nuốm vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường hòa hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy:+ nếu như y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại học 20111221+ nếu 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ đã mang lại chỉ bao gồm một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ sẽ cho tương tự với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Dưới đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ bên trên ta thấy x , y, z > 0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương từ ta thu được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ đó suy ra hệ gồm một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Nỗ lực y từ bỏ PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) bao gồm x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta bao gồm f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới đây, xin nêu một câu hỏi trong Đề thi tuyển sinh Đại học sớm nhất mà giả dụ khôngdùng đến nguyên tắc đạo hàm thì khó hoàn toàn có thể giải quyết được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t tất cả f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 buộc phải f (t ) luôn luôn đồng đổi thay trên  , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 với x = không hẳn là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x bên trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa gồm g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t bắt buộc hàm số f (t ) luôn luôn đồng biến nênx= y Û x = y 2 . Cầm cố x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Kiếm được x = 1 .yVậy hệ gồm hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) cùng ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải các hệ phương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + trăng tròn y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền