Bài viết hướng dẫn phương thức giải và biện luận bất phương trình cùng hệ bất phương trình hàng đầu một ẩn và các dạng toán tương quan trong chương trình Đại số 10 chương 4.
Bạn đang xem: Cách giải hệ bất phương trình
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG1. Giải với biện luận bất phương trình dạng $ax+bGiải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b• giả dụ $a=0$ thì bất phương trình bao gồm dạng $0x+b+ với $b+ cùng với $bge 0$ thì tập nghiệm bất phương trình là $S = emptyset .$• nếu như $a>0$ thì $ax+b• nếu $a-fracba$ suy ra tập nghiệm là $S=left( -fracba;+infty ight).$Các bất phương trình dạng $ax+b>0$, $ax+ble 0$, $ax+bge 0$ được giải tương tự.2. Hệ bất phương trình hàng đầu một ẩn.Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình, khi ấy tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của những tập nghiệm từng bất phương trình.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢIDạng toán 1. Giải với biện luận bất phương trình dạng $ax + b Ví dụ 1. Giải và biện luận bất phương trình sau:a) $mx+6 b) $left( x+m ight)m+x>3x+4.$c) $left( m^2+9 ight)x+3ge mleft( 1-6x ight).$d) $mleft( m^2x+2 ight)Với $m=2$ bất phương trình biến $0xle 0$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.Với $m>2$ bất phương trình tương tự với $xVới $mfrac3m-6m-2=3.$Kết luận:$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với đa số $x$ (có tập nghiệm là $S=mathbbR$).$m>2$ bất phương trình bao gồm nghiệm là $x$m3$ (có tập nghiệm là $S=left( 3;+infty ight)$).b) Bất phương trình tương tự với $left( m-2 ight)x>4-m^2.$Với $m=2$ bất phương trình biến hóa $0x>0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.Với $m>2$ bất phương trình tương tự với $x>frac4-m^2m-2=-m-2.$Với $mKết luận:$m=2$ bất phương trình vô nghiệm.$m>2$ bất phương trình tất cả nghiệm là $x>-m-2.$$mc) Bất phương trình tương tự với $left( m+3 ight)^2xge m-3.$Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0xge -6$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với đa số $x.$Với $m e -3$ bất phương trình tương tự với $xge fracm-3left( m+3 ight)^2.$Kết luận:$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với tất cả $x.$$m e -3$ bất phương trình tất cả nghiệm là $xge fracm-3left( m+3 ight)^2.$d) Bất phương trình tương đương với $Leftrightarrow left( m^3-1 ight)x0$).Với $m=1$ bất phương trình biến $0xVới $m>1$ bất phương trình tương tự với $xVới $mfracm-1m^2+m+1.$Kết luận:$m=1$ bất phương trình vô nghiệm.$m>1$ bất phương trình tất cả nghiệm là $x$mfracm-1m^2+m+1.$
Ví dụ 2. Tìm $m$ nhằm bất phương trình $left( m^2-m ight)x+mRõ ràng nếu $m^2-m-6 e 0$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixm e -2 \m e 3 \endmatrix ight.$ bất phương trình luôn luôn có nghiệm.Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0xVới $m=3$ bất phương trình biến $0xVậy giá chỉ trị buộc phải tìm là $m=-2$ và $m=3.$
Ví dụ 3. Tìm $m$ nhằm bất phương trình $4m^2left( 2x-1 ight)$ $ge left( 4m^2+5m+9 ight)x-12m$ bao gồm nghiệm đúng $forall xin mathbbR.$
Bất phương trình tương tự với $left( 4m^2-5m-9 ight)xge 4m^2-12m.$Dễ dàng thấy nếu như $4m^2-5m-9 e 0$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixm e -1 \m e frac94 \endmatrix ight.$ thì bất phương trình ko thể có nghiệm đúng $forall xin mathbbR.$Với $m=-1$ bất phương trình biến chuyển $0xge 16$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.Với $m=frac94$ bất phương trình phát triển thành $0xge -frac274$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$Vậy giá chỉ trị yêu cầu tìm là $m=frac94.$
Ví dụ 4. Tra cứu $m$ nhằm bất phương trình $left( 4m^2+7m+1 ight)x-5m$ $ge 3x-m-1$ gồm tập nghiệm là $<-1;+infty ).$
Bất phương trình tương đương với $left( 4m^2+7m-2 ight)xge 4m-1$ $Leftrightarrow left( m+2 ight)left( 4m-1 ight)xge 4m-1.$+ với $left( m+2 ight)left( 4m-1 ight)=0$ $Leftrightarrow left< eginmatrixm=-2 \m=frac12 \endmatrix ight.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với tất cả $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài bác toán.+ với $m>frac14$ $Rightarrow left( m+2 ight)left( 4m-1 ight)>0$ bất phương trình tương tự với $xge frac1m+2.$Do đó nhằm bất phương trình gồm tập nghiệm là $<-1;+infty )$ thì $frac1m+2=-1$ $Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).+ cùng với $-2+ cùng với $m0$ bất phương trình tương tự với $xge frac1m+2.$Do đó nhằm bất phương trình bao gồm tập nghiệm là $<-1;+infty )$ thì $frac1m+2=-1$ $Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).Vậy $m=-3$ là giá trị buộc phải tìm.
Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình hàng đầu một ẩn.Ví dụ 5. Giải các hệ bất phương trình sau:a) $left{ eginalign& 5x-2>4x+5 \& 5x-4endalign ight.$b) $left{ eginalign& 6x+frac57& frac8x+32endalign ight.$c) $left{ eginalign& 5x-2& x^2endalign ight.$d) $left{ eginalign& x-1le 2x-3 \& 3x& frac5-3x2le x-3 \endalign ight.$
a) Hệ bất phương trình tương tự với: $left{ eginalign& 5x-2>4x+5 \& 5x-4endalign
ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& x>7 \& xendalign
ight.$Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.b) Hệ bất phương trình tương tự với: $left{ eginalign& 6x+frac57& frac8x+32endalign
ight.$ $Leftrightarrow left{ eginalign& x& xendalign
ight.$ $Leftrightarrow xVậy hệ bất phương trình tất cả nghiệm là $xc) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ {eginarray*20cx x > – 1endarray
ight.$ $ Leftrightarrow – 1 Vậy hệ bất phương trình tất cả nghiệm là $-1d) Hệ bất phương trình tương tự với: $left{ eginalign& xge 2 \& x& xge frac115 \endalign
ight.$ $Leftrightarrow frac115le xle frac52.$Vậy hệ bất phương trình bao gồm nghiệm là $frac115le xle frac52.$
a) Hệ bất phương trình tương tự với: $left{ eginmatrixxle 3 \left( m^2+2 ight)xge 3m^2-4m+6 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxle 3 \xge frac3m^2-4m+6m^2+2 \endmatrix ight.$Suy ra hệ bất phương trình gồm nghiệm khi và chỉ khi $frac3m^2-4m+6m^2+2le 3$ $Leftrightarrow mge 0.$Vậy $mge 0$ là giá bán trị buộc phải tìm.b) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ eginmatrixm^2xm^2xge 4m+1 \endmatrix ight.$+ với $m=0$ ta bao gồm hệ bất phương trình vươn lên là $left{ eginmatrix0x0xge 1 \endmatrix ight.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.+ với $m e 0$ ta gồm hệ bất phương trình tương tự với $left{ eginmatrixxxge frac4m+1m^2 \endmatrix ight.$Suy ra hệ bất phương trình bao gồm nghiệm khi và chỉ khi $fracm+2m^2>frac4m+1m^2$ $Leftrightarrow mVậy $mVí dụ 7. Kiếm tìm $m$ nhằm hệ bất phương trình sau vô nghiệm:a) $left{ eginalign& left( x-3 ight)^2ge x^2+7x+1 \& 2mle 8+5x \endalign ight.$b) $left{ eginmatrixmx+1le x-1 \2left( x-3 ight)endmatrix ight.$
a) Hệ bất phương trình tương tự với: $left{ eginalign& xle frac813 \& xge frac2m-85 \endalign ight.$Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow frac813frac7213.$Vậy $m>frac7213$ là giá trị yêu cầu tìm.b) Hệ bất phương trình tương tự với $left{ eginmatrixleft( m-1 ight)xle -2 \x>frac143 \endmatrix ight.$+ với $m=1$ hệ bất phương trình biến hóa $left{ eginmatrix0xle -2 \x>frac143 \endmatrix ight.$ (hệ bất phương trình vô nghiệm).+ cùng với $m>1$ hệ bất phương trình $left{ eginmatrixxle frac-2m-1 \x>frac143 \endmatrix ight.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow frac-2m-1le frac143$ $Leftrightarrow -6le 14left( m-1 ight)$ $Leftrightarrow mge frac47.$Do đó $m>1$ thì hệ bất phương trình vô nghiệm.+ với $mxge frac-2m-1 \x>frac143 \endmatrix ight.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).Vậy giá chỉ trị đề nghị tìm là $mge 1.$
Ví dụ 8. Tìm kiếm $m$ để hệ bất phương trình $left{ eginalign& 2mleft( x+1 ight)ge x+3 \& 4mx+3ge 4x \endalign ight.$ bao gồm nghiệm duy nhất.
Hệ bất phương trình tương tự với: $left{ eginmatrixleft( 2m-1 ight)xge 3-2m \left( 4m-4 ight)xge -3 \endmatrix ight.$Giả sử hệ bất phương trình tất cả nghiệm nhất thì $frac3-2m2m-1=frac-34m-4$ $Leftrightarrow 8m^2-26m+15=0$ $Leftrightarrow m=frac34$ hoặc $m=frac52.$+ với $m=frac34$ hệ phương trình trở nên $left{ eginmatrixleft( frac32-1 ight)xge 3-frac32 \-xge -3 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxge 3 \xle 3 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow x=3.$+ với $m=frac52$ hệ phương trình thay đổi $left{ eginmatrix4xge -2 \6xge -3 \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow xge -frac12.$Vậy giá chỉ trị phải tìm là $m=frac34.$
Dạng toán 3. Bất phương trình quy về bất phương trình, hệ bất phương trình số 1 một ẩn.Ví dụ 9. Giải với biện luận bất phương trình $fracmx-m+1x-1>0.$
Điều kiện xác định: $x e 1.$Bất phương trình tương đương với $left{ eginmatrixx>1 \mx-m+1>0 \endmatrix ight.$ $(3)$ hoặc $left{ eginmatrixxmx-m+1endmatrix ight.$ $(4).$+ Trường vừa lòng 1: $m>0$ ta gồm $(3)$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixx>1 \x>fracm-1m \endmatrix ight.$ với $(4)$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxxendmatrix ight.$Vì $fracm-1m0$, cho nên vì vậy $left( 3 ight)$ $Leftrightarrow x>1$ với $left( 4 ight)$ $Leftrightarrow xSuy ra nghiệm của bất phương trình là: $xin left( -infty ;fracm-1m ight)cup left( 1;+infty ight).$+ Trường hợp 2: $m=0$, bất phương trình trở thành: $frac1x-1>0$ $Leftrightarrow x-1>0$ $Leftrightarrow x>1.$Suy ra nghiệm của bất phương trình là $xin left( 1;+infty ight).$+ Trường hợp 3: $mx>1 \xendmatrix ight.$ cùng $(4)$ $Leftrightarrow left{ eginmatrixxx>fracm-1m \endmatrix ight.$Vì $fracm-1m>1$ với tất cả $mSuy ra nghiệm của bất phương trình là $xin left( 1;fracm-1m ight).$Kết luận:$m>0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( -infty ;fracm-1m ight)cup left( 1;+infty ight).$$m=0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( 1;+infty ight).$$mVí dụ 10. Mang đến bất phương trình $sqrtleft( m^2-4 ight)x-m+3>2.$a) Giải bất phương trình khi $m=1.$b) kiếm tìm $m$ nhằm bất phương trình nghiệm đúng với tất cả $x.$
a) khi $m=1$ bất phương trình phát triển thành $sqrt-3x+2>2$ $Leftrightarrow left{ eginmatrix-3x+2ge 0 \-3x+2ge 4 \endmatrix
ight.$ $Leftrightarrow xle -frac23.$Vậy tập nghiệm bất phương trình là $ extS=(-infty ;-frac23>.$b) Điều kiện xác định: $left( m^2-4
ight)x-m+3ge 0.$Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với tất cả $x$ thì lúc ấy điều kiện $left( m^2-4
ight)x-m+3ge 0$ đúng với đa số $x.$Suy ra $m^2-4=0$ $Leftrightarrow m=pm 2.$Với $m=2$ ta có bất phương trình thay đổi $sqrt0.x-2+3>2$ (vô nghiệm).Với $m=-2$ ta gồm bất phương trình biến hóa $sqrt0.x+2+3>2$ (đúng với tất cả $x$).Vậy $m=-2$ là giá chỉ trị phải tìm.
Xem thêm: Sinh Ngày 8 Tháng 7 Là Cung Gì ? Sinh Ngày 8 Tháng 7 Là Cung Gì Đặc Điểm Tính Cách
Ví dụ 11. Cho bất phương trình $sqrtx-1(x-2m+2)ge 0.$a) Giải bất phương trình khi $m=2.$b) kiếm tìm $m$ để phần đa $xin left< 2;3 ight>$ hồ hết là nghiệm của bất phương trình vẫn cho.
a) lúc $m=2$ bất phương trình biến chuyển $sqrtx-1(x-2)ge 0.$Bất phương trình tương đương với $left< eginmatrixsqrtx-1=0 \left{ eginalign& x-1ge 0 \& x-2ge 0 \endalign ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left< eginmatrixx=1 \left{ eginmatrixxge 1 \xge 2 \endmatrix ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left< eginmatrixx=1 \xge 2 \endmatrix ight.$Vậy tập nghiệm bất phương trình là $ extS=left 1 ight\cup <2;+infty ).$b) Bất phương trình tương đương với $left< eginmatrixsqrtx-1=0 \left{ eginalign& x-1ge 0 \& x-2m+2ge 0 \endalign ight. \endmatrix ight.$ $Leftrightarrow left< eginmatrixx=1 \left{ eginalign& xge 1 \& xge 2m-2 \endalign ight. \endmatrix ight.$+ Trường phù hợp 1: $2m-2>1$ $Leftrightarrow m>frac32$: Ta bao gồm bất phương trình $Leftrightarrow left< eginmatrixx=1 \xge 2m-2 \endmatrix ight.$Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=left 1 ight\cup <2m-2;+infty ).$Do đó gần như $xin left< 2;3 ight>$ đa số là nghiệm của bất phương trình đã mang lại $Leftrightarrow left< 2;3 ight>subset S$ $Leftrightarrow 2m-2le 2$ $Leftrightarrow mle 2.$Suy ra $frac32+ Trường phù hợp 2: $2m-2=1$ $Leftrightarrow m=frac32$: Ta tất cả bất phương trình $Leftrightarrow left< eginmatrixx=1 \xge 1 \endmatrixLeftrightarrow xge 1 ight. .$Suy ra $m=frac32$ vừa lòng yêu cầu bài toán.+ Trường thích hợp 3: $2m-2x=1 \xge 1 \endmatrixLeftrightarrow xge 1 ight. .$Suy ra $mVậy giá bán trị bắt buộc tìm là $mle 2.$