Cho hàm số(y = frac12x^2)có đồ dùng thị (P). Xét các điểm A, B trực thuộc (P) làm sao để cho tiếp đường tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và con đường thẳng AB bằng 9/4 . Gọi(x_1,x_2) theo thứ tự là hoành độ của A cùng B.
Bạn đang xem: Cho hàm số y 1 2x 2
Xem thêm: Cách 'Ngầm Tác Động' Suy Nghĩ Người Đang Suy Nghĩ Người Khác
Cực hiếm của (left( x_1 + x_2
ight)^2) bằng:
((P):y = frac12x^2)
TXĐ: D = R.Ta bao gồm y’ = x
Giả sử(Aleft( x_1;frac12x_1^2 ight);Bleft( x_2;frac12x_2^2 ight) in (P)(x_1 e x_2))
Phương trình tiếp con đường tại điểm A của (P) là(y = x_1(x - x_1) + frac12x_1^2 Leftrightarrow y = x_1x - frac12x_1^2(d_1))
Phương trình tiếp con đường tại điểm B của (P) là(y = x_2(x - x_2) + frac12x_2^2 Leftrightarrow y = x_2x - frac12x_2^2(d_1))
Do((d_1) ot (d_2))nên ta có(x_1x_2 = - 1 Leftrightarrow x_2 = frac - 1x_1)
Phương trình con đường thẳng AB:
(eginarraylfracx - x_1x_2 - x_1 = fracy - frac12x_1^2frac12x_2^2 - frac12x_1^2 Leftrightarrow frac12left( x - x_1 ight)left( x_2^2 - x_1^2 ight) = left( y - frac12x_1^2 ight)left( x_2 - x_1 ight)\Leftrightarrow (x - x_1)(x_2 + x_1) = 2y - x_1^2 Leftrightarrow (x_1 + x_2)x - 2y - x_1x_2 = 0\Leftrightarrow y = frac12left< left( x_1 + x_2 ight)x - x_1x_2 ight> = frac12left< left( x_1 + x_2 ight)x + 1 ight>endarray)
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
(eginarraylS = frac12intlimits_x_1^x_2 left( left( x_1 + x_2 ight)x + 1 - x^2 ight)dx \Leftrightarrow frac94 = frac12left( left( x_1 + x_2 ight)fracx^22 + x - fracx^33 ight)left| _x_1^x_2 ight.\Leftrightarrow frac94 = frac12left< left( x_1 + x_2 ight)left( fracx_2^22 - fracx_1^22 ight) + left( x_2 - x_1 ight) - fracx_2^3 - x_1^33 ight>\Leftrightarrow frac94 = frac12left( x_1 + x_2 ight)left( x_2^2 - x_1^2 ight) + (x_2 - x_1) - fracx_2^3 - x_1^33\Leftrightarrow 27 = 3left( x_1x_2^2 - x_1^3 + x_2^3 - x_1^2x_2 ight) + 6left( x_2 - x_1 ight) - 2x_2^3 + 2x_1^3\Leftrightarrow 27 = 3x_1x_2^2 - 3x_1x_2^2 + x_2^3 - x_1^3 + 6(x_2 - x_1)\Leftrightarrow 27 = - 3(x_2 - x_1) + (x_2 - x_1)left( x_1^2 + x_2^2 - 1 ight) + 6(x_2 - x_1)\Leftrightarrow 27 = 3(x_2 - x_1) + (x_2 - x_1)left( x_1^2 + x_2^2 - 1 ight)\Leftrightarrow 27 = (x_2 - x_1)left( x_1^2 + x_2^2 + 2 ight)\Leftrightarrow 27 = (x_2 - x_1)left( x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 ight)\Leftrightarrow 27 = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1)^2 = (x_2 - x_1)^3\Leftrightarrow x_2 - x_1 = 3endarray)
Thay(x_2 = frac - 1x_1) ta có:
(frac - 1x_1 - x_1 = 3 Leftrightarrow - 1 - x_1^2 - 3x_1 = 0 Leftrightarrow left< eginarraylx_1 = frac - 3 - sqrt 5 2 Rightarrow x_2 = frac23 + sqrt 5 \x_1 = frac - 3 + sqrt 5 2 Rightarrow x_2 = frac - 2 - 3 + sqrt 5 endarray ight. Leftrightarrow left( x_1 + x_2 ight)^2 = 5)