CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA 1 ĐIỂM CỐ ĐỊNH HÌNH HỌC

Những việc hình học liên qua mang lại yếu tố chuyển đổi thường gây tương đối nhiều khó khăn cho các em học tập sinh. Để giải những bài toán dạng này, những em rất cần được có những kiến thức và kỹ năng rộng và tư duy hình học tập tốt. Trong nội dung bài viết nhỏ này, tôi trình diễn một vài tay nghề giải những bài toán Đường qua điểm thắt chặt và cố định thông qua giải thuật của một vài câu hỏi quen thuộc.

Bạn đang xem: Chứng minh đường thẳng đi qua 1 điểm cố định hình học

Đầu tiên, đường ở chỗ này chỉ hoàn toàn có thể là đường thẳng hoặc con đường tròn. Công việc thực hiện việc là:

Vậy làm sao để tìm được điểm vắt định? Đây là 1 trong việc khó, tất nhiên không phải ai ai cũng nhận ra được điểm thắt chặt và cố định ngay, mà đề nghị dự đoán, mà dự kiến bằng tay nghề và thực hành.

Sau khi vẫn xác định chắc chắn điểm cụ định, ta đi chứng minh đường đi qua điểm cố định và thắt chặt đó. Việc chứng tỏ này tùy ở trong vào đặc thù điểm chũm định.

Ví dụ 1. (PTNK 2007) cho tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn $(O)$. $P$ là điểm chuyển đổi trên cung $BC$ không cất $A$. Call $H, K$ là hình chiếu của $A$ trên $PB, PC$. Chứng minh rằng $HK$ luôn luôn đi qua một điểm vắt định.

Đầu tiên lúc $P$ đổi khác thì đường thẳng $HK$ cũng nỗ lực đổi, tất yếu ta chưa biết ngay rằng $HK$ trải qua điểm cố định nào. Vậy ta phải dự kiến được điểm thắt chặt và cố định trước bằng phương pháp cho $P$ ở 1 vị trí khác, ta sẽ tiến hành đường $HK$. Lúc đó $HK$ cùng $HK$ sẽ giảm nhau tại một điểm $T$ nào đó, vậy $T$ là vấn đề gì? trong hình, có các điểm $A, B, C$ cố kỉnh định, ta tìm kiếm mối contact của $T$ cùng $A, B, C$ trước. Đến đây bằng trực giác hình học, ta rất có thể dự đoán rằng $T$ trực thuộc $BC$ với $AT ot BC$, việc dự đoán này là công ty quan dựa vào trực giác và cảm hứng về khía cạnh hình học. Nếu muốn chắc chắn, chỉ hoàn toàn có thể là chứng minh một cách đúng chuẩn và gắng thể.

Vậy khi đã đoán được điểm thắt chặt và cố định ta đề nghị làm gì? Ta có nhiều cách để giải quyết bài toán: có thể gọi $T$ là giao điểm của $HK$ và $BC$, sau đó minh chứng $AT ot BC$ hoặc dựng $AT ot BC$, chứng minh $H, K, T$ thẳng hàng.

Trên đấy là một ví dụ như về cách xem xét khi ta cần giải quyết một việc kiểu thế này, tất nhiên, nhiều người giỏi và cấp tốc nhẹn hơn rất có thể nhận ra $HK$ là mặt đường thẳng Simson của $A$ so với tam giác $PBC$, rất có thể giải quyết ngay bài xích toán.

Gọi $T$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Ta chứng minh $H, K, T$ trực tiếp hàng.

Ví dụ 2.Cho mặt đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ nằm ngoại trừ $O$. $A$ là 1 trong những điểm chuyển đổi trên $d$. Trường đoản cú $A$ vẽ những tiếp con đường $AB, AC$ cho $(O)$. Chứng tỏ $BC$ luôn đi sang một điểm cố kỉnh định.

Tương tự biện pháp làm như ví dụ 1, ta cũng phát hiện tại được điểm cố định và thắt chặt thuộc $BC$ là vấn đề $T$. Mặc dù vậy so với bài toán này, điểm $T$ có vẻ hơi sống lưng chừng cực nhọc dự kia nó là điểm có đặc trưng gì.

Vì thế sau khi đã kiếm được điểm $T$, ta test nối $T$ với những yếu tố cố định có trên hình, và chắc chắn nó sẽ có quan hệ với $O$, đường thẳng $d$ và đường tròn $(O)$.

Sau khi nối lại ta sẽ thấy được, có vẻ như $OT ot d$, vậy $T$ ở trong một tia cố kỉnh định. Việc còn lại chỉ cần chứng minh $OT$ tất cả độ dài không đổi nữa là $T$ sẽ vậy định.

Ví dụ 3. Cho mặt đường tròn trọng điểm $O$ với dây cung $BC$ nuốm định. $A$ biến hóa trên cung khủng $BC$. Gọi $D$ là vấn đề đối xứng của $C$ qua $AB$, $E$ là vấn đề đối xứng của $B$ qua $AC$. Đường tròn ngoại tiếp những tam giác $ADC$ cùng $ABE$ giảm nhau trên điểm đồ vật hai $P$. Minh chứng rằng $AP$ luôn luôn đi qua một điểm cầm cố định.

Đây là một bài toán khá dễ toán điểm vắt định, đó đó là tâm $O$. Ta chứng minh $A, O, P$ trực tiếp hàng.

Trên đây là một số bài xích toán minh chứng đường thẳng trải qua điểm gắng định. Tiếp theo họ xem xét một vài ba ví dụ chứng tỏ đường tròn trải qua điểm thay định.

Ví dụ 4.Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên các cạnh $AB, AC$ lấy các điểm chuyển đổi $D, E$ làm sao để cho $BD = CE$. Minh chứng rằng con đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ đi sang một điểm cố định và thắt chặt khác $A$.

Đây là một bài toán khá nhẹ nhàng, nếu mang lại $D, E$ chuyển đổi ta hoàn toàn có thể nhận thấy bên cạnh $A$ thì điểm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ADE$ còn đi sang 1 điểm nữa, có vẻ gần ngay sát điểm ở vị trí chính giữa cung $BC$. Một chăm chú là mục đích $B, C$ như nhau nên điểm cố định và thắt chặt đó đối với $B, C$ buộc phải là như nhau. Từ đó ta hoàn toàn có thể mạnh dạn khẳng định, điểm cố định đó chính là điểm ở trung tâm cung $BC$. Từ kia đi đến bệnh minh.

Chú ý:$(ADE)$ là con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ADE$.

Ví dụ 5.Cho tam giác $ABC$ nhọn. Những điểm $M, N$ lần lượt biến hóa trên $AB, AC$ làm thế nào cho độ nhiều năm hình chiếu của $MN$ trên đường thẳng $BC$ bởi nửa độ nhiều năm cạnh $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt khác $A$.

Khi vẽ hình ta đã thấy điểm cố định và thắt chặt nằm vào tam giác $ABC$, vị $B, C$ là mục đích như nhau, ta rất có thể đoán đặc điểm đó là điểm đặc biệt trong tam giác: trực tâm, trọng tâm, hay trọng tâm đường tròn ngoại tiếp.

Trên đây là một số ví dụ như về các bài toán minh chứng đường đi qua điểm nuốm định, hi vọng qua những bài toán này chúng ta nắm được quá trình giải và không lo ngại khó khi gặp mặt những câu hỏi dạng này. Sau đó là một số bài tập tập luyện thêm.

Xem thêm: Lý Thuyết Định Lí Đảo Và Hệ Quả Của Định Lí Ta-Lét, Định Lí Đảo Và Hệ Quả Của Định Lí Ta

Bài tập

Lịch thi đấu World Cup