Chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Các ví dụ:

Lời giải.

Hàm số đang cho xác định , xét >

Ta có: và hoặc

Vậy, mathopmax,y=68> khi và mathopmin,y=4> khi

Ví dụ 2 :

Tìm giá chỉ trị khủng nhất, nhỏ nhất của hàm số: ,>

Lời giải.

Hàm số đang cho khẳng định , xét >

Ta có: cùng >

Vậy, mathopmax,y=3> lúc và mathopmin,y=-9> lúc

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm GTLN cùng GTNN của các hàm số sau

Bài 2: Tìm GTLN với GTNN của các hàm số sau

Bài 3: Tìm GTLN cùng GTNN của những hàm số sau

Bài 4: Tìm GTLN cùng GTNN của những hàm số sau

Bài 5: tra cứu GTLN cùng GTNN của các hàm số sau:

1. $y=frac13x^3-frac12x^2-6x+3,,,,,,xin <0;4>$ 2. trên đoạn >

3. trên khoảng tầm $left( 0;+infty ight)$

Bài 6: search GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1.$y=(x+3)sqrt-x^2-2x+3$ 2. $y=sqrt45+20x^2+left| 2x-3 ight|$

Phương pháp .

Chú ý: ,

Các ví dụ

Lời giải.

Hàm số vẫn cho xác minh

Đặt , ta có: cùng với >

Ta có: và hoặc >

Vậy, mathopmax,y=1> lúc và mathopmin,y=0> lúc

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN của biểu thức : $P=cos 2A+2sqrt2left( cos B+cos C ight)$

Lời giải.

Ta có $Ale 90^0Rightarrow cos 2A=2cos ^2A-1le 2cos A-1=1-4sin ^2fracA2$

Đẳng thức bao gồm $Leftrightarrow cos ^2A=cos A$ .

$cos B+cos C=2sin fracC2.cos fracB-C2le 2sin fracC2$

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: tra cứu GTLN với GTNN của các hàm số sau

Bài 2: Tìm GTLN cùng GTNN của các hàm số sau

Bài 4: Tìm giá chỉ trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 1. $y=2cos fracx2+sqrt6sin x$ trên đoạn $left< 0;,pi ight>$.

Do cỡ chương trình, tác giả chỉ giới thiệu những việc cơ bản, trọng tâm thường lộ diện trong đề chất vấn 45 phút, thi học kì. độc giả muốn khám phá kĩ rộng dạng toán này, hãy tìm đọc cuốn: “ Bất đẳng thức và vấn đề min – max trong những bài kiểm tra, thi học kì và trong kì thi tuyển chọn sinh Đại học tập “ cùng tác giả.

Phương pháp .

Nhắc lại bất đẳng thức Cô đắm say ( BĐT trung bình cộng – trung bình nhân )

$ullet $ nhì số: Với nhị số thực $a,bge 0$ ta luôn luôn có: $fraca+b2ge sqrtab$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.

Hệ quả: Với nhị số thực dương $a,b$ ta có: $frac1a+frac1bge frac4a+b$.

$ullet $ cha số: Với cha số thực $a,b,cge 0$ ta luôn có: $fraca+b+c3ge sqrt<3>abc$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Hệ quả: Với ba số thực dương $a,b,c$ ta luôn luôn có: $frac1a+frac1b+frac1cge frac9a+b+c$

$ullet $ Tổng quát: với $n$ số thực ko âm $a_1,a_2,...,a_n$ ta luôn luôn có:

$fraca_1+a_2+...+a_nnge sqrta_1.a_2...a_n$

Đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi những số $a_i$ bởi nhau.

Hệ quả: cùng với $n$ số thực dương $a_1,a_2,...,a_n$ ta có: $frac1a_1+frac1a_2+...+frac1a_nge fracn^2a_1+a_2+...+a_n$

Một số lưu ý khi áp dụng BĐT Cô si:

$ullet $ Bất đẳng thức Cô tê mê chỉ áp dụng cho những số thực không âm, đồng thời là sự so sánh thân trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân.

$ullet $ Điều kiện để xảy ra dấu "=" là những số bởi nhau.

Phương pháp:

Nội dụng của phương thức này là tìm bí quyết đưa một bất đẳng thức nhiều phát triển thành về bất đẳng thức cất một biến. Trong những công cụ tối ưu khi chứng tỏ bất đẳng thức một vươn lên là là luật pháp đạo hàm. Quan trọng nhất ở phương pháp này là kiếm tìm cách reviews để đem về một biến. Để đem đến một biến, bọn họ cần lưu giữ ý:

$ullet $ trường hợp một bất đẳng thức hai trở thành có đk và trong điều kiện có một biến chuyển nhất thì ta hoàn toàn có thể rút vươn lên là đó và cầm cố vào bất đẳng thức cần minh chứng ta được một bất đẳng thức một biến. Tuy vậy cách làm cho này chúng ta chỉ sử lí khi bất đẳng thức không thật phức tạp.

$ullet $ Nếu điều kiện của việc và bất đẳng thức cần chứng tỏ là rất nhiều biểu thức đối sứng hai đổi mới thì ta rất có thể chuyển về tổng và tích hai phát triển thành đó. Lưu lại ý: $S^2ge 4P$.

$ullet $ Khi gặp gỡ bài toán minh chứng BĐT nhì biến tất cả dạng :$fracfleft( x,y ight)gleft( x,y ight)ge p$, trong các số ấy $fleft( x,y ight)$ với $gleft( x,y ight)$ là đa số biểu thức đẳng cấp và sang trọng bậc $k$ nhị biến, ta hoàn toàn có thể đặt $x=ty ext left( y e 0 ight)$. Lúc đó BĐT cần chứng tỏ trở thành : $fracfleft( t,1 ight)gleft( t,1 ight)ge p$ đấy là BĐT một biến. Để minh chứng BĐT này ta hoàn toàn có thể sử dụng cách thức khảo ngay cạnh hàm số.

$ullet $ ví như trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng: $fraca^nb^n+fracb^na^n$ thì ta rất có thể đặt $t=fracab+fracba$

Các ví dụ

Ví dụ 1.

Cho 0,mathsf y>0> cùng . Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức .

Lời giải.

1. Cách 1 : Ta có : $x+y=frac54Rightarrow 4y=5-4xRightarrow P=frac4x+frac15-4x$.

Xét hàm số : $fleft( x ight)=frac4x+frac15-4x$ khẳng định và tiếp tục trên khoảng $left( 0;frac54 ight)$

Ta có : $f"left( x ight)=-frac4x^2+frac4left( 5-4x ight)^2$.

Trên khoảng chừng $left( 0;frac54 ight):mathsf f"left( x ight)=0$ $Leftrightarrow x=1$.

Lập bảng trở thành thiên, ta được khi $x=1,mathsf y=frac14$.

Xem thêm: Thơ Huy Cận Trước Cách Mạng, Tuyển Tập Thơ Huy Cận (Cù Huy Cận)

Cách 2 : $left( x+y ight)P=left( frac4x+frac14y ight)left( x+y ight)=fracx4y+frac4yx+frac174ge 2+frac174=frac254$

Suy ra $Pge 5$. Đẳng thức xảy ra: $fracx4y=frac4yx$ cùng $x+y=frac54$ tốt $x=1,mathsf y=frac14$.

Lời giải.

Ta gồm $y=3-xge 1Rightarrow xle 2Rightarrow xin left< 0;2 ight>$

Xét hàm số $f(x)=x^3+x^2-5x+18$ bên trên $left< 0;2 ight>$ ta có:

$f"(x)=3x^2+2x-5Rightarrow f"(x)=0Leftrightarrow x=1$

Hơn nữa: $fleft( 0 ight)=18,mathsf fleft( 1 ight)=15,mathsf fleft( 2 ight)=20$

Vậy, $max P=underset extxin ext !!mathopmax ,f(x)=f(2)=20$ khi $x=2$, $min P=underset extxin ext !!mathopmin ,f(x)=f(1)=15$ khi x=1