Bạn đang xem: Dãy toán học
Thường thường xuyên khi kể tới phép cọng, bọn họ nghĩ cho phép cọng của nhì số, ví dụ $2+3=5$. Mặc dù nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta cũng rất có thể làm phép cọng mang đến hai dãy số.Giả sử $ a_n $ với $ b_n $ là hai hàng số. Bạn cũng có thể cọng hai dãy số này lại $$c_n = a_n + b_n$$ để sở hữu một hàng số mới là $ c_n $.Dưới đấy là một ví dụ, bằng cách lần lượt cọng những số hạng của hai dãy số $ a_n $ và $ b_n $ bọn họ có tổng là một trong dãy số new $ c_n $.
 |
| Tổng của hai hàng số là một dãy số $ c_n = a_n + b_n $ |
Bây giờ mang sử $ a_n $ là một trong dãy số và $alpha$ là một trong những hằng số, chúng ta cũng có thể nhân hằng số $alpha$ với hàng số $ a_n $ sẽ được một dãy số mới là $ b_n $ như sau $$b_n = alpha ~ a_n.$$Ở ví dụ dưới dây, bằng phương pháp lần lượt nhân mỗi số hạng của hàng số $ a_n $ cùng với hằng số $alpha = 2$ chúng ta có tích là một trong dãy số mới $ b_n = 2 imes a_n $.
 |
| Tích của một dãy số với cùng 1 hằng số là một trong dãy số: $ b_n = 2 imes a_n $ |
Ở việc dưới dây, chúng ta sẽ thấy rằng nếu các dãy số thõa mãn thuộc một cách làm truy hồi thì tổng tuyến tính của chính nó cũng thõa mãn bí quyết truy hồi đó.
Bài toán 1:Giả sử dãy số $a_n$ thoã mãn phương pháp truy hồi $$a_n = 5 a_n-1 - 6 a_n-2.$$Giả sử hàng số $_n$ cũng thoã mãn phương pháp truy hồi $$b_n = 5 b_n-1 - 6 b_n-2.$$Chứng minh rằng tổng của $a_n$ cùng $_n$, hàng số $c_n = a_n + _n$ thõa mãn công thức $$c_n = 5 c_n-1 - 6 c_n-2.$$Chứng minh rằng với tất cả hằng số $alpha$, $eta$, tổng tuyến đường tính $d_n = alpha~ a_n + eta~ _n$ thõa mãn phương pháp $$d_n = 5 d_n-1 - 6 d_n-2.$$
Bài toán 2: Tìm tất cả các dãy số bao gồm dạng $f_n = z^n$ làm thế nào cho $f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2$.
Xem thêm: Sinh Năm 1996 Nam Mệnh Gì Năm 2022? Tuổi Con Gì
Lời giải: cố $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2$ họ có $$z^n = 5 z^n-1 - 6 z^n-2.$$Trường hòa hợp $z = 0$, họ sẽ gồm dãy số $f_n = 0$.Trường vừa lòng $z eq 0$, chúng ta chia nhì vế của phương trình trên mang lại $z^n-2$ sẽ được $$z^2 = 5 z - 6.$$Giải phương trình bậc hai $$x^2 - 5 x + 6 =0$$ bọn họ tìm được hai nghiệm $x = 2$ và $x=3$.Vậy $z = 2$ hoặc $z = 3$, và bọn họ có hai hàng số thõa mãn việc là $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$.Tóm lại, có bố dãy số gồm dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2$, chính là $f_n = 0$, $f_n = 2^n$ với $f_n = 3^n$.Xin các bạn tự khám nghiệm lại để cho chắc chắn rằng rằng dãy số $f_n = 2^n$ cùng $f_n = 3^n$ đúng là thõa mãn phương trình $f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2$.
Từ hai câu hỏi trên chúng ta rút ra được điều gì? Từ bài toán số 2, bọn họ biết được hai hàng số $ 2^n $ với $3^n$ thõa mãn cách làm $$f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2.$$
Từ việc số 1, chúng ta có thể lấy tổng tuyến tính của hai dãy số này, sẽ là dãy số $ alpha ~ 2^n + eta ~ 3^n$, thì hàng số này cũng thõa mãn cách làm $$f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2.$$
Với hai số $alpha$ cùng $eta$ bất kỳ, hàng số khẳng định bởi phương pháp $$f_n = alpha ~ 2^n + eta ~ 3^n$$ thõa mãn phương pháp truy hồi $$f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2.$$
Bài toán 3: xác minh giá trị của nhì hằng số $alpha$ cùng $eta$ làm thế nào để cho dãy số $f_n = alpha ~ 2^n + eta ~ 3^n$ thõa mãn đk $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2.$$
Lời giải: Lần lượt rứa $n=0$ cùng $n=1$, bọn họ có
$$f_0 = alpha ~ 2^0 + eta ~ 3^0 = alpha + eta = 1,$$
$$f_1 = alpha ~ 2^1 + eta ~ 3^1 = 2 ~alpha + 3 ~eta = 7.$$
Giải hệ phương trình này họ có $alpha = -4$ cùng $eta = 5$. Trường đoản cú đó chúng ta có $$f_n = 5 imes 3^n - 4 imes 2^n.$$
Các bạn chú ý rằng có khá nhiều các hàng số thõa mãn bí quyết $f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2$. Cứ mỗi quý hiếm của $alpha$ cùng $eta$ thì họ có một dãy số $f_n = alpha ~ 2^n + eta ~ 3^n$ thõa mãn phương pháp $f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2$.Tuy nhiên, chỉ gồm duy nhất một dãy số thõa mãn đk $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2.$$Vì vậy, theo việc số 3, họ suy ra dãy số $f_n = 5 imes 3^n - 4 imes 2^n$ là dãy số độc nhất thõa mãn $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_n-1 - 6 f_n-2.$$
Chúng ta tạm ngưng ở đây, kỳ tới họ tiếp tục học tập về hàng số.Bài tập về nhà.1.Tìm công thức bao quát cho dãy số sau $$a_0 = 0, ~a_1 =1, ~a_n = 5 a_n-1 - 6 a_n-2.$$2.Tìm công thức tổng thể cho dãy số sau $$b_0 = 1, ~b_1 =1, ~b_n = 5 b_n-1 - 6 b_n-2.$$3. Tìm toàn bộ các dãy số có dạng $f_n = z^n$ thế nào cho $f_n = 2 f_n-1 + 3 f_n-2$.4. Tra cứu công thức tổng quát cho hàng số sau $$c_0 = 7, ~c_1 =1, ~c_n = 2 c_n-1 +3 c_n-2.$$5. Kiếm tìm công thức bao quát cho dãy số Fibonnaci $$F_0 = 0, ~F_1 =1, ~F_n = F_n-1+F_n-2.$$
Labels:dãy số,đa thức,đại số,đại số tuyến tính,đệ quy,Fibonacci,nội suy,phương trình sệt trưng,rời rạc,sai phân,truy hồi
Bài đăng bắt đầu hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ
Ủng hộ vườn Toán trên facebook
Lưu trữ Blog
► 2017(1) ► 2016(7) ► 2015(12) ► 2014(12) ▼ 2013(26) ▼ tháng ba(3) ► 2012(36) ► 2011(7)
Bài toán kết nối facebook
Phép nhân thời vật dụng đá
Mắt Biếc hồ nước Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci và một vấn đề xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số chủ yếu phương kỳ diệu của Vianney!
Câu đố vui về đo lường
Công thức lượng giác Gauss mang đến 17-giác đều
Chào năm mới 2014
Chào năm mới 2015
Chào năm mới 2016
Không gian 4d là gì?
Dựng hình nhiều giác đều
Dựng đa giác đông đảo 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... Có bằng 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua cùng kim từ bỏ tháp
Dãy số - Phần 1
Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9
Tam giác Pascal
Quy nạpQuy nạp IIQuy hấp thụ IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bởi công thức nội suyTổng luỹ thừa
Số phức
Số phức
cách làm Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác mang lại góc bội
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài việc về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo mang lại số hữu tỷ
Modulo cho số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa với định lý Wolstenholme
Câu iq về đo lường
Dựng đa giác hầu hết 15 cạnh
Bò đi nhỏ bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số kỳ diệu của Euler
Bài toán kết nối facebook
Dãy số Fibonacci cùng một việc xếp hìnhHằng đẳng thức về hàng số FibonacciDãy số Fibonacci và tam giác Pascal
Định lý Pitago
Định lý con đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và vai trung phong đẳng phươngĐịnh lý Ceva và Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán con bướmĐịnh lý ngôi sao Do TháiHãy cẩn thận trường hợp sệt biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất cùng một tính chất của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình bởi thước cùng compa
Bài toán chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình nhiều giác đềuDựng nhiều giác các 15 cạnhĐịnh lý mặt đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss cho 17-giác phần lớn Dựng hình chỉ bằng compa sử dụng compa chia phần đông đoạn thẳng