Bạn đang xem: Định lý nhị thức
tam giác này được thi công trên quy tắc từng số sống hàng bên dưới sẽ bằng tổng của nhị số đứng bên trên ở mặt hàng trên
và dùng ký hiệu $p_n,k$ để chỉ số lắp thêm $k$ nghỉ ngơi hàng máy $n$ của tam giác Pascal thì bí quyết xây dựng tam giác Pascal là $$p_n-1,k-1 + p_n-1,k = p_n,k.$$
Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ bằng quy nạp theo biến chuyển số $n$ công thức tiếp sau đây $$p_n,k = n choose k = fracn!k! (n-k)!$$
Với $n=0$, chúng ta có $$p_0,0 = 1 = frac0!0!0!$$ như vậy phương pháp đúng cùng với trường hòa hợp $n=0$. Bọn họ lưu ý rằng $0!$ bởi $1$ chứ chưa hẳn bằng $0$.Giả sử công thức đúng với những trường hòa hợp $0 leq n leq N$. Họ sẽ chứng tỏ công thức cũng đúng với trường thích hợp $n=N+1$.Thực vậy, với trường vừa lòng $k=0$ hoặc $k=N+1$ bọn họ có $$p_N+1,0 = p_N+1,N+1 = 1 = frac(N+1)!0! (N+1)! = N+1 choose 0 = N+1 choose N+1$$Với trường vừa lòng $1 leq k leq N$, chúng ta có $$p_N+1,k = p_N,k-1 + p_N,k$$Theo đưa thiết quy hấp thụ thì cách làm đúng cùng với trường hòa hợp $n=N$, cho nên vì thế $$p_N,k-1 = N choose k-1 = fracN!(k-1)! (N-k+1)!, quad p_N,k = N choose k = fracN!k! (N-k)!$$Từ kia suy ra $$p_N+1,k = p_N,k-1 + p_N,k = fracN!(k-1)! (N-k+1)! + fracN!k! (N-k)! $$ $$= fracN! kk! (N-k+1)! + fracN!(N-k+1)k! (N-k+1)! $$$$= fracN!(N+1)k! (N-k+1)! = frac(N+1)!k! (N-k+1)! = N+1 choose k$$Như vậy chúng ta đã chứng minh công thức chuẩn cho trường vừa lòng $n =N+1$. Nắm lại, theo nguyên tắc quy nạp thì họ đã chứng tỏ được công thức cho những hệ số trong tam giác Pascal là $$p_n,k = n choose k = fracn!k! (n-k)!$$
Xin nói thêm một ít về cam kết hiệu $n choose k$. Cam kết hiệu này hiểu là "$n$ chọn $k$", nguyên nhân là vì $n choose k$ chính là số bí quyết chọn $k$ đồ vật (không nhắc thứ tự) trong những $n$ thiết bị vật. Ví dụ, nếu chúng ta có $4$ bé cá thì sẽ sở hữu đúng $4 choose 2 = 6$ cách lựa chọn ra $2$ bé cá.
 |
| có đúng $4 choose 2 = 6$ cách chọn ra $2$ bé cá từ $4$ con cá |
Bây giờ họ dùng quy hấp thụ để minh chứng định lý triển khai nhị thức Newton $$(x+y)^n = x^n + n choose 1 x^n-1 y + n choose 2 x^n-2 y^2 + dots + n choose n-2 x^2 y^n-2 + n choose n-1 x y^n-1 + y^n$$
Công thức hiển nhiên hợp lý cho trường phù hợp $n=0$ với $n=1$. đưa sử công thức đúng cho các trường hợp $0 leq n leq N$, trong số đó $N geq 1$. Chúng ta sẽ minh chứng công thức chuẩn cho trường phù hợp $n=N+1$.
$$(x+y)^N+1 = (x+y) (x+y)^N $$ $$= (x+y)(x^N + p_N,1 x^N-1 y + p_N,2 x^N-2 y^2 + dots + p_N, N-2 x^2 y^N-2 + p_N,N-1 x y^N-1 + y^N)$$
$$= x^N+1 + p_N,1 x^N y + p_N,2 x^N-1 y^2 + dots + p_N, N-2 x^3 y^N-2 + p_N,N-1 x^2 y^N-1 + x y^N$$
$$ ~~~~ + x^N y + p_N,1 x^N-1 y^2 + p_N,2 x^N-2 y^3 + dots + p_N, N-2 x^2 y^N-1 + p_N,N-1 x y^N + y^N+1$$
Để ý rằng theo cách làm xây dựng tam giác Pascal thì $$p_N,1 + 1 = p_N+1,1, p_N,2 + p_N,1 = p_N+1,2, dots, p_N,N-1 + p_N, N-2 = p_N+1, N-1, 1 + p_N,N-1 = p_N+1,N,$$ vì chưng đó
$$(x+y)^N+1 = x^N+1 + p_N+1,1 x^N y + p_N+1,2 x^N-1 y^2 + dots + p_N+1, N-1 x^2 y^N-1 + p_N+1,N x y^N + y^N+1$$
Vậy họ đã chứng tỏ công thức hợp lý cho trường phù hợp $n=N+1$. Theo nguyên tắc quy hấp thụ thì bọn họ đã hội chứng minh ngừng định lý khai triển nhị thức Newton
$$(x+y)^n =x^n + p_n,1 x^n-1 y + p_n,2 x^n-2 y^2 + dots + p_n,n-2 x^2 y^n-2 + p_n,n-1 x y^n-1 + y^n$$ $$= x^n + n choose 1 x^n-1 y + n choose 2 x^n-2 y^2 + dots + n choose n-2 x^2 y^n-2 + n choose n-1 x y^n-1 + y^n$$
Thay $y$ bởi $-y$ bọn họ có hằng đẳng thức$$(x-y)^n = x^n - n choose 1 x^n-1 y + n choose 2 x^n-2 y^2 - dots + (-1)^n-2n choose n-2 x^2 y^n-2 + (-1)^n-1n choose n-1 x y^n-1 + (-1)^n y^n$$
Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.Bài tập về nhà.1. Minh chứng rằng nếu như $p$ là số nhân tố thì $p choose k$ phân tách hết mang đến $p$với phần lớn $0 2. Minh chứng các đẳng thức sau$$1 + 2012 choose 1 + 2012 choose 2 + dots + 2012 choose 2010 + 2012 choose 2011 + 1 = 2^2012$$$$1 + 2012 choose 2 + 2012 choose 4 + dots + 2012 choose 2010 + 1=2^2011$$$$2012 choose 1 + 2012 choose 3 + dots + 2012 choose 2009 + 2012 choose 2011 = 2^2011$$
Áp dụng $Delta$ một lần nữa cho biểu thức $Delta p(x)$, bọn họ có $$Delta^2 p(x) = Delta (Delta p(x)) = (p(x+2) - p(x+1)) - (p(x+1) - p(x)) = p(x+2) - 2 p(x+1) + p(x)$$
Labels:algebra,binomial theorem,combinatorics,đại số,hằng đẳng thức,induction,Newton,nhị thức,Pascal's triangle,quy nạp,rời rạc,tam giác Pascal
Bài đăng mới hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ
Ủng hộ vườn cửa Toán trên facebook
Lưu trữ Blog
► 2017(1) ► 2016(7) ► 2015(12) ► 2014(12) ► 2013(26) ▼ 2012(36) ▼ tháng chín(6) ► 2011(7)
Bài toán liên kết facebook
Phép nhân thời đồ vật đá
Mắt Biếc hồ nước Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số chủ yếu phương kỳ lạ của Vianney!
Câu đố mẹo về đo lường
Công thức lượng giác Gauss mang lại 17-giác đều
Chào năm mới 2014
Chào năm mới tết đến 2015
Chào năm mới 2016
Không gian 4d là gì?
Dựng hình nhiều giác đều
Dựng đa giác phần đa 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... Có bằng 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua và kim trường đoản cú tháp
Dãy số - Phần 1
Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9
Tam giác Pascal
Quy nạpQuy hấp thụ IIQuy nạp IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suyTổng luỹ thừa
Số phức
Số phức
công thức Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác cho góc bội
Công thức lượng giác Gauss mang lại 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài việc về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo đến số hữu tỷ
Modulo đến số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa với định lý Wolstenholme
Câu đố mẹo về đo lường
Dựng đa giác phần đông 15 cạnh
Bò đi con bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số kỳ diệu của Euler
Bài toán liên kết facebook
Dãy số Fibonacci và một việc xếp hìnhHằng đẳng thức về hàng số FibonacciDãy số Fibonacci cùng tam giác Pascal
Xem thêm: Quy Định Về Chụp Ảnh Thẻ Căn Cước Có Cần Mặc Áo Có Cổ, Quy Định Về Chụp Ảnh Cmnd/Cccd Mà Bạn Nên Biết
Định lý Pitago
Định lý mặt đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và vai trung phong đẳng phươngĐịnh lý Ceva với Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán con bướmĐịnh lý ngôi sao sáng Do TháiHãy chăm chú trường hợp sệt biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất với một đặc thù của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình bằng thước cùng compa
Bài toán phân tách hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình đa giác đềuDựng nhiều giác hồ hết 15 cạnhĐịnh lý đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều Dựng hình chỉ bằng compa dùng compa chia gần như đoạn thẳng