Trong quá trình học tập môn Toán trong lịch trình phổ thông, các em vẫn khá không còn xa lạ với các phương pháp tính diện tích cùng thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố tương quan đến đối tượng người sử dụng như độ nhiều năm cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân những em sẽ tiến hành tiếp cận một phương thức mới nhằm tính diện tích hình phẳng, thể tích của trang bị thể, thể tích khối tròn xoay chỉ trải qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Bạn đang xem: Giải bài tập ứng dụng tích phân trong hình học


1. Video clip bài giảng

2. Cầm tắt lý thuyết

2.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

2.2. Ứng dụng tích phân tính thể tích trang bị thể

2.3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

3. Bài tập minh hoạbài 3 Chương 3 Toán 12

4. Rèn luyện Bài 3 Chương 3 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm về Ứng dụng của tích phân vào hình học

4.2 bài bác tập SGK và cải thiện vềỨng dụng của tích phân trong hình học

5. Hỏi đáp về bài 3 Chương 3 Toán 12


Nếu hàm số (y=f(x))liên tục bên trên ()thì diện tích s S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)là (S = intlimits_a^b f(x) ight .)

*

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (y = f(x)), (y = g(x))và hai đường thẳng (x=a,x=b)là:(S = intlimits_a^b dx)

*


Thể tích vật dụng thể B số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm (a,b)là (V = intlimits_a^b S(x)dx.)Trong kia S(x) là diện tích s thiết diện của đồ dùng thể bị cắt vì chưng mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại điểm tất cả hoành độ là (x in left< a;,b ight>)và S(x) là một trong những hàm liên tục.

*


Hàm số (y=f(x))liên tục và không âm trên (.)Hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)quay quanh trục hoành khiến cho một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi phương pháp (V = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .)

*

Cho nhì hàm số(y=f(x)), (y=g(x))thỏa (0leq g(x)leq f(x)), thường xuyên và ko âm trên(.)Hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))và hai tuyến đường thẳng(x=a,x=b)quay quanh trục hoành khiến cho một khối tròn xoay. Thể tích V được xem bởi công thức(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Cho hai hàm số hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số (y=f(x))và(y=g(x))​ quay quanh trục hoành hoành khiến cho một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn luân chuyển ta triển khai các bước:Giải phương trình(f(x) = g(x) Leftrightarrow left< eginarrayl x = a\ x = b endarray ight.)(Thường dạng bài xích này đề bài bác cho phương trình hoành độ giao điểm gồm hai nghiệm phân biệt).Giải sử(0leq g(x)leq f(x))với số đông x thuộc(.)Khi đó:(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Hình phẳng số lượng giới hạn bởi trang bị thị hàm số (x = g(y)), trục tung và hai tuyến đường thẳng (y = c,,y = d)quay quanh trục tung làm cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_c^d g^2(y)dy.)

Tính diện tíchtích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường cong(y = x^3,)trục hoànhvà hai tuyến phố thẳng (x = - 1,x = 2.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong(y = x^3)và trục hoành:

Diện tích hình phẳng phải tính:

(S = intlimits_ - 1^0 left)(= left. - fracx^44 ight|_ - 1^0 + left. fracx^44 ight|_0^2 = frac174)

Ví dụ 2:

Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số(y = left( e + 1 ight)x)và(y=(1+e^x)x.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai tuyến đường cong là:(left( e + 1 ight)x = left( 1 + e^x ight)x Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ e^x = e endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Nhận xét, với (x in left< 0;1 ight>)thì hiệu số (left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x = xleft( e^x - e ight) > 0.)

Khi đó, diện tích s hình phẳng phải tìm là (S = intlimits_0^1 left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x ight dx = intlimits_0^1 left)

Đặt (left{ {eginarray*20c u = x\ dv = left( e - e^x ight)dx endarray Rightarrow left eginarray*20c du = dx\ v = ex - e^x endarray ight. ight.)

( Rightarrow S = xleft( ex - e^x ight)left)(= left( - fracex^22 + e^x ight)left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. = frace - 22.)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần vật thể số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng (x=0)và (x=3), bao gồm thiết diện bị cắt do mặt phẳng vuông góc cùng với trục (Ox)tại điểm bao gồm hoành độ (xleft( 0 le x le 3 ight))là một hình chữ nhật bao gồm hai kích cỡ bằng (x)và (2sqrt 9 - x^2.)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật gồm hai cạnh là (x;2sqrt 9 - x^2)là (2xsqrt 9 - x^2)

Khi đó, thể tích của vật dụng thể được xác định bằng cách làm (V = intlimits_0^3 2xsqrt 9 - x^2 dx)

Đặt (t = sqrt 9 - x^2 Leftrightarrow t^2 = 9 - x^2 Leftrightarrow xdx = - tdt)và (left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow t = 3\ x = 3 Rightarrow t = 0 endarray ight.)

Suy ra (V = - 2intlimits_3^0 t^2dt = frac2t^33left| eginarray*20c 3\ 0 endarray ight. = 18.)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi mang đến hình phẳnggiới hạn vị đồ thị hàm số (y = 2x - x^2)và (y = x)quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ gia dụng thị hàm số(y = 2x - x^2) và mặt đường thẳng(y=x)là (2x - x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay buộc phải tìm là (V = pi intlimits_0^1 left = pi intlimits_0^1 left)

(Rightarrow V = left| pi intlimits_0^1 left( x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)dx ight| = pi left| left( fracx^55 - x^4 + x^3 ight)left ight| = fracpi 5.)


Trong quy trình học tập môn Toán trong công tác phổ thông, những em đang khá không còn xa lạ với các phương thức tínhdiện tích với thể tíchcủa một đối tượng bằng phương pháp xác định những yếu tố liên quan đến đối tượng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi khám phá khái niệmTích phâncác em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới nhằm tínhdiện tích hình phẳng,thể tích của đồ thể,thể tích khối tròn xoaychỉ trải qua các hàm số làỨng dụng tích phân.


Để cũng cố bài học kinh nghiệm xin mời các em cũng làm bài xích kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 bài xích 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.


Câu 1:Cho thứ thị hàm số y = f(x). Xác minh công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình.


A.(S = intlimits_ - 2^3 fleft( x ight)dx)B.(S = intlimits_0^ - 2 fleft( x ight)dx + intlimits_2^3 fleft( x ight)dx)C.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_3^0 fleft( x ight)dx)D.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_0^3 fleft( x ight)dx)

Câu 2:

Tính diện tích s S của hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số (y = x^4 - 5x^2 + 4), trục hoành và hai tuyến phố thẳng(x = 0;x = 1).


Câu 3:

Tính diện tích s S của hình phẳng giởi hạn vị đồ thị hàm số(y = x^3 - x)và đồ vật thị hàm số(y = x^2 - x.)


A.(S = frac116)B.(S = frac112)C.(S = frac18)D.(S = frac14)

Câu 4-10:Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và kỹ năng và nắm vững hơn về bài học này nhé!


Bên cạnh đó những em hoàn toàn có thể xem phần khuyên bảo Giải bài xích tập Toán 12 Chương 3 bài bác 3sẽ giúp những em vậy được các phương thức giải bài xích tập từ SGKGiải tích 12Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Thanh Hóa - Top 20 Phim Son Môi Hồng Tập Cuối Hay Nhất 2022

bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

bài bác tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12

bài bác tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12

bài xích tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12

bài bác tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12

bài xích tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12 NC

bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12

bài tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12

bài tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12

bài xích tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12

bài tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12

bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

bài xích tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12


Nếu có thắc mắc cần giải đáp những em hoàn toàn có thể để lại thắc mắc trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 đang sớm trả lời cho các em.