Các dạng phương trình đựng căn bậc hai, bất phương trình cất căn thức bậc hai vẫn là một dạng toán xuất hiện thêm nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển chọn sinh vào lớp 10, thi THPTQG.
Bạn đang xem: Dạng bài tập và cách giải bất phương trình toán lớp 10
Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm rõ kiến thức sau:
1. Chính sách chung để giải phương trình, bất phương trình cất căn bậc 2
Nguyên tắc bình thường để khử vệt căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để bảo đảm việc bình phương này cho họ một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có đk cả 2 vế pt, bpt số đông không âm.
Do đó, về bản chất, bọn họ lần lượt đánh giá 2 trường phù hợp âm, với không âm của những biểu thức (thường là 1 trong vế của phương trình, bất phương trình đang cho).
2. Các dạng phương trình cất căn, bất phương trình chứa căn nguyên bản
Có khoảng 4 dạng phương trình đựng căn, bất phương trình cất căn cơ phiên bản đó là
3. Cách giải phương trình đựng căn, giải pháp giải bất phương trình chứa căn
Chi máu về phương thức giải các dạng phương trình, bất phương trình đựng căn, xin mời thầy cô và những em học sinh theo dõi trong đoạn clip sau đây.
4. Một vài ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$
Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đang cho bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị $x = 3$.
Ví dụ 2. Giải phương trình
Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình gồm nghiệm nhất $x=4$.
Ví dụ 3. Giải phương trình
Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với
<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đã cho tất cả nghiệm độc nhất $x = 3$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$
Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình sẽ cho gồm nghiệm nhất $x = 1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$
Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. & \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm độc nhất $x = frac-86$.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$
Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.
Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. & left( 2 ight)endarray ight.$$
Hệ bất phương trình (1) tương tự với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$Lấy hòa hợp tập nghiệm của 2 trường đúng theo trên, được đáp số ở đầu cuối là $S = left< 1;frac145 ight)$.
Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với
$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm độc nhất $x = 0$.
Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$
Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ và 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm $x=5$.
Ví dụ 10.
Xem thêm: Soạn Bài Bài Thơ Về Tiểu Đội Xe Không Kính, (Trang 131)
Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$
Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign và x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$
Với đk trên, bất phương trình đang cho tương tự với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>
Kết hợp với điều khiếu nại ta gồm tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.
Xem các ví dụ không giống nữa trên đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình cất căn