Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kỹ năng và kiến thức mà các em học tập ở tức thì chương 1 đại số lớp 9, phần bài xích tập về căn thức cũng hay xuyên xuất hiện trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.
Bạn đang xem: Giải phương trình căn bậc 2 nâng cao
Có các dạng bài tập về căn thức như: rút gọn gàng biểu thức, tính quý giá của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Tuy nhiên, trong bài viết này chúng ta tập trung tìm hiểu cách giải phương trình cất dấu căn, qua đó vận dụng giải một số bài tập về phương trình cất căn thức nhằm rèn luyện năng lực giải toán.
I. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ khi giải phương trình đựng dấu căn
•
•
•
•
•
i) ngôi trường hợp:
+ cách 1: Tìm đk của x để f(x) ≥ 0
+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.
+ bước 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện
* ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?
a) b)
c) d)
° Lời giải:
a) (*)
- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:
- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt tất cả nghiệm x = 4.
b) (*)
- Điều kiện: x ≥ 0, khi ấy bình phương 2 vế ta có:
- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt bao gồm nghiệm x = 5/4.
c) (*)
- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta có (ở bày này ta rất có thể rút gọn hệ số trước lúc bình phương 2 vế):
- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 50.
d) (*)
- vì (1 - x)2 ≥ 0 ∀x phải pt xác định với đa số giá trị của x.
→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4
* lấy ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:
a) b)
° Lời giải:
a) (*)
- Điều kiện:
- lúc ấy bình phương 2 vế ta được:
- Đối chiếu đk (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, cần ta KHÔNG dấn nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.
ii) trường hợp: (*) thì ta nên kiểm tra biểu thức f(x).
+) nếu như f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:
+) Nếu không bao gồm dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện công việc sau:
- bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0
- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn thức
- bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng bí quyết phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).
* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 nên ta có:
* lấy ví dụ 2: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta tiến hành như sau:
- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x phải biểu thức xác định với rất nhiều giá trị của x.
- Bình phương 2 vế phương trình ta được:
(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9
- Kết luận: Phương trình gồm 2 nghiệm x = -1 cùng x = 5.
2. Giải phương trình đựng dấu căn dạng:
* cách thức giải:
- bước 1: Viết đk của phương trình:
- cách 2: nhận dạng từng loại khớp ứng với những cách giải sau:
¤ loại 1: nếu như f(x) gồm dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đưa về phương trình trị hoàn hảo nhất để giải.
¤ loại 2: ví như f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.
¤ nhiều loại 3: ví như f(x) = Ax2 + Bx + C
¤ loại 4: giả dụ f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so sánh f(x) với g(x) thành nhân tử, giả dụ chúng có nhân tử tầm thường thì để nhân tử chung đem đến phương trình tích.
- bước 3: kiểm soát nghiệm tìm được có thỏa mãn nhu cầu điều kiện không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.
* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Ta có:
- Vậy phương trình vô nghiệm
* ví dụ như 2: Giải phương trình sau: (*)
° Lời giải:
- Ta có:
- Vậy phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≤ 3.
* lấy ví dụ 3: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Điều kiện:
- Bình phương 2 vế ta được:
2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1
⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.
- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa đk nên phương trình dấn nghiệm này.
- Phương trình bao gồm nghiệm x = 2.
* lấy ví dụ 4: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế đề xuất là dạng hàm bậc 1) bắt buộc để khử căn ta dùng cách thức bình phương 2 vế.
- Điều kiện:
- khám nghiệm x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng phương pháp thay cực hiếm này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa
→ Vậy phương trình vô nghiệm.
3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng:
* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện công việc sau:
- cách 1: Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì cần có điều kiện biểu thức vào căn ≥ 0.
- bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị hay đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).
- bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị xuất xắc đối) nhằm giải phương trình.
* lấy ví dụ 1: Giải phương trình:
° Lời giải:
- Điều kiện: x ≥ 0.
- khía cạnh khác, ta thấy:
- Ta xét những trường hợp để phá lốt trị hay đối:
+) TH1: Nếu
⇒ Phương trình tất cả vô số nghiệm x ≥ 9.
+) TH2: Nếu
° Lời giải:
- Điều kiện: x ≥ 1
- nhấn thấy:
- Đến đây xét những trường vừa lòng giải tựa như ví dụ 1 ngơi nghỉ trên.
4. Biện pháp giải một số phương trình đựng căn khác.
i) cách thức đặt ẩn phụ để giải phương trình cất dấu căn.
* ví dụ 1: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Điều kiện: x ≥ 0
Đặt
- cả hai nghiệm t phần đa thỏa đk nên ta có:
(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em vẫn học ở nội dung bài chương sau).
* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Điều kiện:
Đặt
- Ta thấy pt(**) có dạng làm việc mục 2) nhiều loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:
t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2
- cùng với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 phải ta có:
→ Phương trình bao gồm nghiệm x = 6.
* lấy một ví dụ 3: Giải phương trình sau:
° Lời giải:
- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Lúc đó ta có:
Đặt
- Đối chiếu đk thì t = -5 loại và t = 2 nhận.
Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.
- đánh giá thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt tất cả 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.
Xem thêm: Giải Toán Số Lớp 8 - Giải Sgk Toán 8 Chi Tiết, Ngắn Nhất
ii) phương thức đánh giá chỉ biểu thức dưới lốt căn (lớn rộng hoặc nhỏ dại hơn 1 hằng số) để giải phương trình đựng căn thức.
- Áp dụng cùng với phương trình chứa căn thức dạng:
- PT có thể cho ngay lập tức dạng này hoặc tất cả thể bóc tách một thông số nào đó để có