Hàm số lũy vượt là những hàm số dạng (y = x^alpha left( alpha in R ight)). Những hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, phụ thuộc vào (alpha): 

- nếu (alpha) nguyên dương thì tập các định là (R).

Bạn đang xem: Hàm số lũy thừa lớp 12

- nếu như (alpha ) nguyên âm hoặc (alpha = 0) thì tập những định là (Rackslash left 0 ight\).

- Nếu (alpha ) ko nguyên thì tập các định là (left( 0; + infty ight)).

Chú ý: Hàm số (y = sqrt x ) có tập xác định là (left< 0; + infty ight)), hàm số (y = sqrt<3>x) có tập khẳng định (R), trong lúc đó những hàm (y = x^frac12,y = x^frac13) đều tất cả tập xác định ((0; +∞)). Bởi vậy (y = sqrt x ) và (y = x^frac12) ( tuyệt (y = sqrt<3>x) và (y = x^frac13)) là các hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy vượt với số nón tổng quát 

- Hàm số (y = x^alpha ) có đạo hàm tai đều (x ∈ (0; +∞)) cùng (y" = left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1)

- nếu như hàm số (u=u(x)) nhận cực hiếm dương và bao gồm đạo hàm trong khoảng (J) thì hàm số (y = u^alpha left( x ight)) cũng có đạo hàm trên (J) cùng " = alpha u^alpha - 1left( x ight)u"left( x ight)>

3. Đạo hàm của hàm số lũy vượt với số nón nguyên dương

Trong trường thích hợp số nón nguyên dương, hàm số lũy thừa (y=x^n) có tập khẳng định là (R) và bao gồm đạo hàm trên toàn trục số. Cách làm tính đạo hàm số lũy thừa bao quát được mở rộng thành (forall x in R,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)> nếu (u= u(x) ) tất cả đạo hàm trong khoảng (J).


4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa (y=x^n) tất cả tập khẳng định là (Rackslash left 0 ight\) và có đạo hàm tại rất nhiều (x) không giống (0), phương pháp đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được không ngừng mở rộng thành (forall x e 0,left( x^n ight)" = nx^n - 1) và " = nu^n - 1left( x ight)u"left( x ight)>

nếu (u= u(x) e 0) bao gồm đạo hàm trong tầm (J).

5. Đạo hàm của căn thức

Hàm số (y = sqrtx) có thể coi là mở rộng của hàm lũy thừa (y = x^frac1n) (tập xác minh của (y = sqrtx) chứa tập xác minh của (y = x^frac1n) và bên trên tập khẳng định của (y = x^frac1n) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi (n) lẻ thì hàm số (y = sqrtx) gồm tập xác minh (R). Trên khoảng tầm ((0; +∞) ) ta bao gồm (y = sqrtx = x^frac1n) và (left( x^frac1n ight)" = dfrac1nx^frac1n - 1), vì thế (left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1).


Công thức này còn đúng cả cùng với (x 0) tính theo công thức:

< left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1>

Tóm lại, ta có ( left( sqrtx ight)" =left( sqrtx ight)" = dfrac1nsqrtx^n - 1) đúng với tất cả (x) khiến cho hai vế bao gồm nghĩa.

Xem thêm: Thạc Sĩ Và Tiến Sĩ Hay Thạc Sĩ Cao Hơn, Sự Khác Biệt Giữa Tiến Sĩ Và Thạc Sĩ

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: trường hợp (u=u(x)) là hàm gồm đạo hàm trên khoảng (J) và vừa lòng điều khiếu nại (u(x) > 0, ∀x ∈ J) khi (n) chẵn, (uleft( x ight) e 0,forall x in J) khi (n) lẻ thì

uleft( x ight) ight)" = dfracu"left( x ight)nsqrtu^n - 1left( x ight)>

6. Đồ thị hàm số (y = x^alpha ) trên khoảng chừng ((0; +∞))

*

Chú ý: Khi điều tra hàm số (y = x^alpha ) với (alpha ) vậy thể, phải xét hàm số bên trên toàn tập xác minh của nó (chứ không hẳn chỉ xét trên khoảng chừng ((0; +∞)) như trên).