Trong tam giác vuông, bình phương từng cạnh góc vuông bởi tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bạn đang xem: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"
2. Một trong những hệ thức tương quan đến đường cao
a) Định lý 1
vào một tam giác vuông, bình phương con đường cao ứng cùng với cạnh huyền bởi tích nhị hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền
trong tam giác ABC vuông trên A ta có: h2 = b".c".
b) Định lý 2
vào một tam giác vuông, tích của nhị cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với mặt đường cao tương ứng
trong tam giác ABC vuông trên A ta có: a.h = b.c
c) Định lý 3
trong tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương đường cao ứng cùng với cạnh huyền bởi tổng những nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
trong tam giác ABC vuông trên A ta có:
3. Các dạng toán hay gặp về một số hệ thức về cạnh và con đường cao vào tam giác vuông
Dạng 1: Tính độ dài những đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: mang đến tam giácABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ nhiều năm hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng câu hỏi vận dụng những hệ thức (1)→(5)
Dạng 2: Chứng minh những hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và con đường cao một cách phù hợp theo hướng:
Bước 1. Chọn các tam giác vuông phù hợp chứa những đoạn thẳng bao gồm trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và mặt đường cao.
Bước 3. Liên kết các giá trị trên nhằm rút ra hệ thức yêu cầu chứng minh.
Chú ý: rất có thể vẽ thêm hình phụ để chế tác thành tam giác vuông hoặc tạo thành thành đường cao vào tam giác vuông từ đó vận dụng những hệ thức.
4. Ví dụ cầm cố thể
Cho tam giác ABC vuông tại A, mặt đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 với AB + AC = 21cm.
a) Tính những cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài những đoạn AH, BH, CH.
Hướng dẫn:
Do kia AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm
b) Tam giác ABC vuông trên A, ta có AH.BC = AB.AC, suy ra
AH2 = BH.HC. Đặt bảo hành = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy bh = 5,4cm. Từ đó HC = BC - bh = 9,6 (cm).
Chú ý: Có thể tính bh như sau:
AB2 = BH.BC suy ra
5. Bài bác tập trường đoản cú luận
Bài 1: Tính x, y trong những trường phù hợp sau
Hướng dẫn giải
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 52+ 72
BC2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC
=> BD = AB2/BC => x = 25/√74
DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 cùng y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.
AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 tốt y = √48
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, mặt đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC bao gồm AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông tại A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính hóa học tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Xem thêm: " Few And Far Between Nghĩa Là Gì, Few And Far Between Nghĩa Là Gì
Ta có DA + DB = AB
⇔ domain authority + 25/7 domain authority = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ domain authority = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông trên A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D cùng E. Tính DE.