Cho phương trình bậc nhị $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$ nếu như (x_1,x_2) là nhì nghiệm của phương trình thì (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac - ba\x_1 cdot x_2 = dfraccaendarray ight..)

Ví dụ: Phương trình (2x^2-5x+2=0) có ( Delta=9>0) nên phương trình có hai nghiệm (x_1;x_2).

Bạn đang xem: 1

Theo hệ thức Vi-ét ta có: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac 52\x_1 cdot x_2 = dfrac22=1endarray ight..)


Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

+) Xét phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$

 Nếu phương trình tất cả (a + b + c = 0) thì phương trình tất cả một nghiệm là (x_1 = 1,) nghiệm tê là (x_2 = dfracca.)

Nếu phương trình có (a - b + c = 0) thì phương trình gồm một nghiệm là (x_1 = - 1,) nghiệm cơ là (x_2 = - dfracca.)

+) Tìm nhì số biết tổng với tích của chúng : giả dụ hai số gồm tổng bởi $S$ với tích bằng $P$ thì hai số sẽ là hai nghiệm của phương trình $X^2 - SX + p = 0$ (ĐK: $S^2 ge 4P$)

Ví dụ: 

+ Phương trình (2x^2-9x+7=0) gồm (a+b+c=2+(-9)+7=0) nên tất cả hai nghiệm (x_1=1;x_2=dfracca=dfrac72)

+ Phương trình (2x^2+9x+7=0) gồm (a-b+c=2-9+7=0) nên tất cả hai nghiệm (x_1=-1;x_2=-dfracca=-dfrac72)


2. Những dạng toán thường gặp gỡ

Dạng 1: ko giải phương trình, tính quý giá biểu thức liên quan giữa các nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm đk để phương trình bao gồm nghiệm : $left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.$. Tự đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = x_1 + x_2 = - dfracba$ cùng $P = x_1x_2 = dfracca$.


Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài bác theo tổng $x_1 + x_2$ với tích $x_1x_2$, kế tiếp áp dụng bước 1.


*

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường chạm mặt là :

+) $A = x_1^2 + x_2^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2= S^2 - 2P$

+) $B = x_1^3 + x_2^3$

$= left( x_1 + x_2 ight)^3 - 3x_1x_2left( x_1 + x_2 ight)= S^3 - 3SP$

+) $C = x_1^4 + x_2^4 = left( x_1^2 + x_2^2 ight)^2 - 2x_1^2x_2^2$

$= left< left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2 ight>^2 - 2left( x_1x_2 ight)^2= left( S^2 - 2P ight)^2 - 2P^2$

+) $D = left| x_1 - x_2 ight| $

$= sqrt left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2 $.

+)

$E = left( x_1 - x_2 ight)^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2$

$= S^2 - 4P $.


Dạng 2 : Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.

+) ví như phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình tất cả một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm cơ là $x_2 = dfracca.$

+ ) trường hợp phương trình gồm $a - b + c = 0$ thì phương trình gồm một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm kia là $x_2 = - dfracca.$

+) nếu như $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\P = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.

Dạng 3 : phân tích tam thức bậc nhì thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc nhị $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ tất cả hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì nó được đối chiếu thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.


Dạng 4 : Tìm nhị số khi biết tổng với tích

Phương pháp :

Để tìm nhì số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ với tích $P = xy$, ta làm như sau:

Bước 1: Xét đk $S^2 ge 4P$. Giải phương trình $X^2 - SX + p = 0$ nhằm tìm những nghiệm $X_1,X_2$.

Bước 2: khi đó những số bắt buộc tìm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.

Dạng 5 : bài bác toán tương quan đến dấu những nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). Lúc đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái vệt ( Leftrightarrow ac 0\P > 0endarray ight.).

3. Phương trình gồm hai nghiệm dương minh bạch ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S > 0endarray ight.).

4. Phương trình tất cả hai nghiệm âm phân biệt ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S Dạng 6 : khẳng định điều khiếu nại của tham số để nghiệm của phương trình vừa lòng điều kiện đến trước.

Phương pháp :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình bao gồm nghiệm (left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.).

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3.

Xem thêm: Bài Tập Chuyển Đổi Because Because Of Although In Spite Of, Tiếng Anh Chủ Đề 15

Kiểm tra đk của tham số xem có vừa lòng điều khiếu nại ở cách 1 hay không rồi kết luận.