1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K. Hàm số F(x) được call là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K giả dụ F"(x) = f(x) với đa số x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của log x

2. đặc điểm nguyên hàm

Nguyên hàm bao gồm 3 tính chất quan trọng đặc biệt cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng cách làm nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi thay đổi tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong các số ấy φ(x) là hàm số cơ mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: thể hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: thể hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u cùng dv: tìm kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: sản phẩm công nghệ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, hai đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, lượng chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn phương pháp bấm laptop nguyên hàm nhanh theo 3 cách sau:

Bước 1: nhấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá chỉ nghiệm

Nếu công dụng bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án buộc phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm sản phẩm công nghệ tính

Bước 1: Nhập vào máy tính xách tay casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong tác dụng A với C nếu mang đến X = 2 thì phần lớn cho hiệu quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối hoàn hảo thì đến X một giá bán trị cho biểu thức vào trị tuyệt vời nhất âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa lựa chọn một trong hai biện pháp sau:

Cách 1: áp dụng nguyên hàm từng phần, tiến hành theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: cầm cố vào cách làm nguyên hàm từng phần.Bước 3: thường xuyên thủ tục như bên trên ta sẽ khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Dịch Vụ Đá Trứng Cút Là Gì ? Câu Trả Lời Đúng Nhất! Đá Trứng Cút Là Gì

* Cách 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, tiến hành theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong những số đó $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức cùng bậc với $P(x).$ Bước 2: rước đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: giả dụ bậc của nhiều thức to hơn $3$ thì biện pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì khi đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức bé dại hơn hoặc bằng $2$: Ta sử dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức lớn hơn hoặc bởi $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài bác tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dìm xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$