Người vị thành niênphần tử được hotline là định thức, bao gồm các phần tử còn lại sau khi xóatôi-oh thoát nước vàjcột sản phẩm công nghệ tại giao điểm của thành phần này. Nguyên tố quyết định nhỏ tuổi n-th order có order ( n- một). Shop chúng tôi sẽ biểu thị nó bằng.

Bạn đang xem: Phần bù đại số là gì

ví dụ 1Để mang đến được

*

*

.

Trẻ vị thành niên này còn có được tự A bằng phương pháp xóa hàng trang bị hai với cột máy ba.

Sự định nghĩa.Phép cộng đại sốphần tử được call là phần tử tương ứng, nhân cùng với nat.e

*

, sinh sống đâutôi-số cái vàj-các cột tại giao điểm của thành phần đã cho.

VІІІ.(Sự phân tung của định thức bên trên các bộ phận của một vài chuỗi). Định thức bởi tổng các tích của các phần tử của một sản phẩm nào đó và những phép cùng đại số tương xứng của chúng.


*

*

.

Ví dụ 3 Hãy tìm kiếm định thức của ma trận, không ngừng mở rộng nó theo các bộ phận của số 1 tiên.

Về mặt hình thức, định lý này với các đặc điểm khác của định thức cho đến nay chỉ có thể áp dụng cho các định thức của ma trận không cao hơn bậc ba, vì họ chưa xét đến những định thức khác. Định nghĩa dưới đây sẽ mở rộng các nằm trong tính này cho các yếu tố đưa ra quyết định của bất kỳ thứ từ nào.

Sự định nghĩa. bản ngãma trận MỘT bậc n là một vài được tính bằng phương pháp sử dụng ứng dụng tuần tự của định lý phân rã với các tính chất khác của định thức.

Bạn có thể kiểm tra rằng hiệu quả tính toán không phụ thuộc vào vào máy tự áp dụng các thuộc tính bên trên và những hàng với cột nào. Định thức rất có thể được xác minh duy nhất bằng cách sử dụng tư tưởng này.

Mặc dù định nghĩa này không chứa công thức cụ thể để tìm kiếm định thức, tuy vậy nó có thể chấp nhận được bạn tra cứu định thức bằng phương pháp rút gọn gàng thành định thức của ma trận gồm bậc thấp hơn. Hầu như định nghĩa bởi vậy được hotline là tái diễn.

Ví dụ 4 Tính định thức:.

Mặc dù định lý phân rã hoàn toàn có thể được vận dụng cho ngẫu nhiên hàng hoặc cột làm sao của một ma trận độc nhất vô nhị định, sẽ sở hữu được ít đo lường hơn khi đối chiếu trên một cột cất càng những số 0 càng tốt.

Vì ma trận không có bộ phận nào bằng 0 nên bọn họ thu được chúng bằng cách sử dụng nằm trong tính 7). Nhân hàng đầu tiên liên tiếp với các số (-5), (-3) cùng (-2) rồi cộng nó vào những hàng vật dụng 2, 3 và 4 và nhận được:

Chúng tôi mở rộng định thức kết quả trong cột thứ nhất và dìm được:


(lấy ra từ dòng trước tiên (–4), tự dòng thứ hai - (–2), từ chiếc thứ 3 - (–1) theo tính chất 4)

(vì định thức chứa hai cột tỷ lệ).

§ 1.3. Một số trong những loại ma trận với định thức của chúng

Sự định nghĩa. m vuông ma trận không có thành phần nào dưới hoặc trên đường chéo cánh chính(= 0 khi tôij, hoặc = 0 cơ hội tôij)đã gọihình tam giác.

Chúng ta tiếp tục nói về các hành động với ma trận. Cụ thể là trong quá trình học bài xích giảng này, các các bạn sẽ học giải pháp tìm ma trận nghịch đảo. Học tập hỏi. Trong cả khi toán học tập chặt chẽ.

Ma trận nghịch đảo là gì? Ở đây bạn có thể rút ra sự giống như với những số có đi bao gồm lại: chẳng hạn, hãy để mắt tới số 5 sáng sủa và số cứu giúp của nó. Tích của những số này bởi một:. Điều này cũng giống như với ma trận! Tích của ma trận và nghịch hòn đảo của nó là - ma trận đơn vị, là ma trận giống như của đơn vị chức năng số. Tuy nhiên, điều đầu tiên, chúng ta sẽ xử lý một vấn đề thực tiễn quan trọng, kia là họ sẽ học bí quyết tìm ra ma trận vô cùng nghịch hòn đảo này.

Bạn cần biết những gì để rất có thể tìm được ma trận nghịch đảo? các bạn phải có chức năng quyết định yếu tố quyết định. Các bạn phải hiểu những gì là ma trận và rất có thể thực hiện một số hành vi với chúng.

Có hai cách thức chính nhằm tìm ma trận nghịch đảo: qua phép cùng đại số và sử dụng các phép đổi khác cơ bản.

Hôm nay chúng ta sẽ nghiên cứu cách sản phẩm công nghệ nhất, dễ hơn.

Hãy ban đầu với điều kinh khủng nhất và cần thiết hiểu nổi. Cẩn thận Quảng trường ma trận. Ma trận nghịch đảo rất có thể được tìm thấy bằng công thức sau:

Đâu là định thức của ma trận, là ma trận đưa vị của những phần bù đại số của các bộ phận tương ứng của ma trận.

Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo chỉ tồn tại so với ma trận vuông, ma trận "hai nhân hai", "ba nhân ba", v.v.

Ký hiệu: Như bạn cũng có thể đã dìm thấy, nghịch hòn đảo của ma trận được biểu thị bằng một chỉ số trên

Hãy ban đầu với trường hợp đơn giản nhất - ma trận nhị nhân hai. Tất nhiên, liên tiếp nhất, "ba nhân ba" là bắt buộc, nhưng, mặc dù nhiên, tôi thực sự khuyên bạn nên nghiên cứu một nhiệm vụ dễ dàng hơn để tìm hiểu nguyên tắc phổ biến của giải pháp.

Ví dụ:

Tìm nghịch hòn đảo của ma trận

Chúng tôi quyết định. Chuỗi các hành động được phân phân thành các điểm một bí quyết thuận tiện.

1) Đầu tiên họ tìm định thức của ma trận.


Nếu hiểu về hành động này chưa tốt, hãy tham khảo tài liệu Làm nỗ lực nào nhằm tính định thức?

Quan trọng! nếu định thức của ma trận là SỐ KHÔNG- ma trận nghịch đảo KHÔNG TỒN TẠI.

Trong ví dụ đang rất được xem xét, nó hóa ra, có nghĩa là mọi thứ phần đa theo sản phẩm công nghệ tự.

2) tìm kiếm ma trận của trẻ vị thành niên.

Để giải đáp vụ việc của bọn họ không duy nhất thiết phải ghi nhận trẻ thiếu niên là gì, tuy nhiên nên đọc nội dung bài viết Cách tính định thức.

Ma trận của trẻ em vị thành niên bao gồm cùng size với ma trận, nghĩa là trong trường hợp này. Trường phù hợp nhỏ, nó vẫn luôn là tìm tư số và đặt chúng thay bởi dấu hoa thị.

Quay lại ma trận của cửa hàng chúng tôi Trước tiên, hãy quan sát vào bộ phận trên cùng bên trái: Làm cầm cố nào nhằm tìm thấy nó bạn vị thành niên?Và điều này được thực hiện như thế này: MENTALLY gạch vứt hàng và cột mà bộ phận này nằm trong đó: Số còn lại là phần tử phụ của bộ phận đã cho, mà cửa hàng chúng tôi viết trong ma trận về trẻ em vị thành niên của mình: Xem xét thành phần ma trận sau: ý thức gạch bỏ hàng và cột mà bộ phận này phía trong đó: các gì sót lại là phần nhỏ của phần tử này, mà công ty chúng tôi viết vào ma trận của mình: Tương tự, shop chúng tôi xem xét các thành phần của hàng đồ vật hai với tìm các bộ phận phụ của chúng: Sẵn sàng.

Nó solo giản. Vào ma trận của trẻ vị thành niên, bạn phải THAY ĐỔI DẤU HIỆU mang đến hai số: Chính những con số này mà lại tôi vẫn khoanh!


là ma trận những phần phụ đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.

Và chỉ một cái gì đó…

4) kiếm tìm ma trận đưa vị của các phép cộng đại số.


là ma trận đưa vị của những phần bù đại số của các thành phần tương ứng của ma trận.

5) Trả lời.

Hãy nhớ cách làm của công ty chúng tôi Tất cả được tìm kiếm thấy!

Vậy ma trận nghịch đảo là:

Tốt tốt nhất hãy nhằm nguyên câu trả lời. KHÔNG CẦN chia mỗi thành phần của ma trận đến 2, bởi vì sẽ thu được các số phân số. Sắc đẹp thái này được đàm luận chi tiết rộng trong thuộc một bài xích báo. Hành rượu cồn với ma trận.

Làm cố gắng nào để kiểm tra các giải pháp?

Phép nhân ma trận nên được thực hiện

Kiểm tra:

đã được kể ma trận 1-1 vị là một trong những ma trận với các đơn vị bên trên đường chéo chính và số không ở hầu hết nơi khác.

Do đó, ma trận nghịch hòn đảo được search thấy chính xác.

Nếu bạn triển khai một hành động, thì tác dụng cũng sẽ là 1 trong ma trận dìm dạng. Đây là 1 trong số ít trường vừa lòng phép nhân ma trận hoàn toàn có thể hoán vị, gồm thể tham khảo thêm thông tin trong bài bác Các thuộc tính của các phép toán trên ma trận. Biểu thức ma trận. Cũng chú ý rằng trong quy trình kiểm tra, hằng số (phân số) được mang đến phía trước cùng được giải pháp xử lý ở cuối - sau phép nhân ma trận. Đây là một tiêu chuẩn.

Hãy đưa sang một trường hợp thịnh hành hơn trong thực tiễn - ma trận tía nhân ba:

Ví dụ:

Tìm nghịch hòn đảo của ma trận

Thuật toán trọn vẹn giống cùng với trường hợp hai nhân hai.

Chúng ta tìm kiếm ma trận nghịch đảo bằng cách làm :, ma trận đưa vị của những phần bù đại số của các thành phần tương ứng của ma trận là ở đâu.

1) search định thức ma trận.


Ở đây yếu tố đưa ra quyết định được bật mí trên chiếc đầu tiên.

Ngoài ra, đừng quên điều đó, có nghĩa là mọi thứ đều ổn - tồn tại ma trận nghịch đảo.

2) tìm ma trận của trẻ em vị thành niên.

Ma trận trẻ em vị thành niên gồm thứ nguyên "ba nhân ba"
, và bọn họ cần tìm chín số.

Tôi đang xem xét chi tiết một số con trẻ vị thành niên:

Xem xét phần tử ma trận sau:
Trong trường vừa lòng này:

Việc tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo cho ma trận "bốn x bốn" không được xem như xét, vị chỉ một giáo viên đấm đá bạo lực mới rất có thể giao một nhiệm vụ như vậy (cho học sinh tính một định thức "bốn x bốn" cùng 16 định thức "ba x ba") . Trong thực tế của tôi, chỉ gồm một trường hợp như vậy, và người tiêu dùng của bài xích kiểm tra đã nên trả giá cho việc dày vò của tớ khá đắt =).

Trong một số sách giáo khoa, sách hướng dẫn, chúng ta có thể tìm thấy một biện pháp tiếp cận khá khác nhằm tìm ma trận nghịch đảo, cơ mà tôi khuyên các bạn nên thực hiện thuật toán giải trên. Trên sao? cũng chính vì xác suất bị nhầm lẫn trong số phép tính và những dấu hiệu thấp hơn nhiều.

Trẻ vị thành niên ma trận

Hãy xem một ví dụ yếu tố quyết định ma trận 3 - sản phẩm công nghệ tự của nó:

Sau đó theo định nghĩa tín đồ vị thành niên,người thanh niên M 12 tương ứng với bộ phận a 12 vẫn là bạn dạng ngã:


Đồng thời, cùng với sự giúp đỡ trẻ vị thành niên có thể giúp tính toán dễ dãi hơn yếu ớt tố ra quyết định ma trận. Buộc phải phân hủy yếu tố quyết định ma trận dọc theo một số dòng cùng sau đó bản ngã sẽ bằng tổng tất cả các phần tử của mặt hàng này với các phần tử phụ của chúng. Sự phân hủy yếu tố ra quyết định ma trận 3 - trang bị tự của nó sẽ như vậy này:


Nơi A ij - phép cùng đại số phần tử a ij đã cho ma trận(nó được có mang theo cách tương tự như như phép cộng đại số nhân tố yếu tố ra quyết định ma trận).

Ma trận A -1 được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch hòn đảo A, nếu đk được đáp ứng: A × A -1 u003d A -1 × A u003d E, trong các số đó E là một ma trận sản phẩm tự giống như ma trận NHƯNG. Ma trận A -1 bao gồm cùng kích cỡ với ma trận NHƯNG.

ma trận nghịch đảo

Nếu có hình vuông vắn ma trận X và A vừa lòng điều kiện: X × A u003d A × X u003d E, trong các số đó E là đơn vị chức năng ma trận cùng một thứ tự, kế tiếp ma trận X được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo vào ma trận A cùng được cam kết hiệu là A -1. Ngẫu nhiên không thoái hóa ma trận Nó gồm ma trận nghịch hòn đảo và rộng nữa, chỉ một, tức là, để bình phương ma trận A đã tất cả ma trận nghịch đảo, nó là cần thiết và đầy đủ rằng nó bạn dạng ngã khác 0.

Để nhận thấy ma trận nghịch hòn đảo sử dụng công thức:


và trẻ em vị thành niên trước tiên 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Sự định nghĩa. Bậc của ma trận là bậc cao nhất của số bé dại khác 0 của ma trận này. Biểu lộ hạng của ma trận r (A).

Trong ví dụ trên, hạng của ma trận là hai, ví dụ: hạng nhỏ

Hạng của ma trận được tính toán tiện lợi bằng phương pháp thay đổi cơ bản. Các phép đổi khác cơ bạn dạng bao gồm:

1) hoán vị của các hàng (cột);

2) nhân một sản phẩm (cột) với một trong những khác 0;

3) thêm vào các bộ phận của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, trước này đã được nhân với một số trong những nhất định.

Các phép biến hóa này ko làm đổi khác thứ hạng của ma trận, vì hiểu được 1) khi những hàng được hoán vị, định thức thay đổi dấu cùng nếu nó không bằng 0, thì nó đã không; 2) lúc nhân hàng của định thức với một vài không bằng 0, định thức sẽ tiến hành nhân cùng với số này; 3) phép biến đổi cơ bạn dạng thứ ba trọn vẹn không làm đổi khác định thức. Vì đó, bằng cách thực hiện những phép biến hóa cơ bản trên ma trận, fan ta hoàn toàn có thể thu được một ma trận mà lại từ đó dễ dãi tính được hạng của nó và bởi vì đó, của ma trận ban đầu.

Sự định nghĩa. Ma trận thu được từ ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ phiên bản được call là tương tự và được cam kết hiệu là NHƯNGTRONG.

Định lý. Hạng của ma trận không thay đổi trong các phép biến đổi ma trận sơ cấp.

Với sự trợ giúp của các phép biến hóa cơ bản, fan ta có thể đưa ma trận về dạng điện thoại tư vấn là bước, khi đó việc tính hạng của nó không khó.

Ma trậnđược hotline là cách nếu nó gồm dạng:

Rõ ràng, kiểu dáng của ma trận bước bằng số hàng không giống 0 , tại vì có một số nhỏ tuổi của đồ vật tự thứ, không bởi 0:


.

Sự định nghĩa. Nếu chúng ta chọn tùy ý k hàng và k cột vào định thức bậc n, thì các thành phần tại giao điểm của các hàng với cột được chỉ định chế tác thành một ma trận vuông bậc k. Định thức của một ma trận vuông bởi thế được call là thứ tự vật dụng k .

Ký hiệu là M k. Nếu k = 1 thì hạng tử hàng đầu là 1 phần tử của định thức.

Các thành phần tại giao điểm của (n-k) hàng cùng (n-k) cột còn lại tạo thành một ma trận vuông gồm bậc (n-k). Định thức của một ma trận do đó được call là con, thêm vàođến M thứ yếu k. Cam kết hiệu M n-k.

Phần bù đại số của phụ tử M k chúng ta sẽ call nó là một phụ ngã sung, được lấy bằng dấu “+” hoặc “-”, tùy trực thuộc vào vấn đề tổng những số của tất cả các hàng với cột nhưng mà M k nhỏ tuổi nằm ở chính là chẵn giỏi lẻ.

Nếu k = 1 thì phần bù đại số của bộ phận aik tính theo công thức

MỘT ik = (- 1) i + k M ik, nơi M ik- thứ tự nhỏ tuổi (n-1).

Định lý. Tích của một con bậc k cùng phần bù đại số của nó bằng tổng của một trong những hạng tử khăng khăng của định thức D n.

Bằng chứng

1. Hãy lưu ý một trường hợp quánh biệt. Để M mẫu mã k chỉ chiếm góc trên phía trái của định thức, tức là nó nằm trong số hàng có số 1, 2, ..., k thì M đồ vật hạng đang chiếm những hàng k + 1, k + 2, ..., n.

Hãy tính phần bù đại số của M k nhỏ. Theo định nghĩa,

MỘT n-k = (- 1) s M n-k, trong những số ấy s = (1 + 2 + ... + k) + (1 + 2 + ... + k) = 2 (1 + 2 + ... + k), thì

(-1) s= 1 với A n-k = M n-k. Lấy

M k MỘT n-k = M k M n-k. (*)

Chúng tôi lấy một trong những hạng tùy ý của M k


, (1)

trong đó s là số lần hòn đảo ngược vào sự cố kỉnh thế

và một thuật ngữ tùy ý của M phụ n-k

trong kia s * là số lần hòn đảo ngược trong sự rứa thế


(4)

Nhân (1) với (3), ta được

Tích bao gồm n phần tử nằm ở những hàng cùng cột khác biệt của định thức D. Bởi vì đó, tích này là member của định thức D. Vệt của tích (5) được xác minh bằng tổng các nghịch đảo trong các phép sửa chữa (2) với (4), cùng dấu của tích tương tự trong định thức D được xác minh bằng số nghịch đảo sk trong phép cố gắng thế


Rõ ràng, s k = s + s *.

Do đó, trở về đẳng thức (*), họ thu được sản phẩm M k MỘT n-k chỉ bao hàm các pháp luật của định thức.

2. Để tiểu nhân M k nằm trong các hàng bao gồm số tôi 1, tôi 2, ..., tôi k và trong số cột gồm số j 1, j 2, ..., j k, và tôi 1 với j1

Sử dụng những thuộc tính của định thức, với việc trợ giúp của những phép gửi vị, họ chuyển số nhỏ tuổi sang góc trên bên trái. Ta chiếm được định thức D ¢ trong số ấy M bé dại nhất k chỉ chiếm góc trên mặt trái, và phụ bổ sung M ¢ n-k là góc dưới mặt phải, sau đó, theo hầu như gì vẫn được chứng minh trong đoạn 1, chúng ta nhận được rằng sản phẩm M k M ¢ n-k là tổng một số bộ phận của định thức D ¢ lấy lốt riêng. Nhưng D ¢ nhận thấy từ D cùng với ( i 1 -1) + (i 2 -2) + ... + (i k -k) = (i 1 + i 2 + ... + i k) - (1 + 2 + ... + k) gửi vị chuỗi cùng ( j 1 -1) + (j 2 -2) + ... + (j k -k) = (j 1 + j 2 + ... + j k) - (1 + 2 + ... + k) gửi vị cột. Đó là, phần nhiều thứ đã có được thực hiện

(i 1 + i 2 + ... + ik) - (1 + 2 + ... + k) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - (1 + 2 + ... + k ) = (i 1 + i 2 + ... + ik) + (j 1 + j 2 + ... + jk) - 2 (1 + 2 + ... + k) = s-2 (1 + 2 + ... + k). Vì đó, các số hạng của định thức D cùng D ¢ khác nhau trong vệt (-1) s-2 (1 + 2 + ... + k) = (- 1) s, vị đó, tích (-1) s M k M ¢ n-k sẽ gồm 1 số số hạng khăng khăng của định thức D, được đem cùng những dấu hiệu như chúng có trong định thức này.

Định lý Laplace. Nếu họ chọn tùy ý k sản phẩm (hoặc k cột) 1 £ k £ n-1 vào định thức đồ vật n, thì tổng những tích của toàn bộ các con thứ k có trong số hàng đã chọn và phần bổ sung đại số của chúng bằng định thức D.

Bằng chứng

Chọn hàng ngẫu nhiên tôi 1, tôi 2, ..., tôi k và minh chứng rằng

Trước đó, bạn ta đã chứng minh rằng toàn bộ các bộ phận ở phía phía trái của đẳng thức được cất dưới dạng các số hạng trong định thức D. Hãy chứng tỏ rằng mỗi số hạng của định thức D chỉ trực thuộc một trong những số hạng. Thật vậy, đa số t s có hình thức t s =. Nếu như trong thành phầm này, chúng tôi đánh dấu các yếu tố tất cả chỉ số đầu tiên tôi 1, tôi 2, ..., tôi k, với soạn thành phầm của họ, sau đó bạn có thể thấy rằng sản phẩm thu được ở trong về phụ đồ vật k. Vị đó, những số hạng còn lại, được rước từ n-k hàng và n-k cột còn lại, sinh sản thành một trong những phần tử thuộc phần phụ té sung, và, gồm tính cho dấu, cho phần bù đại số, vì chưng đó, ngẫu nhiên t s chỉ rơi vào trong 1 trong các tích, điều này chứng tỏ định lý.

Hậu quả(định lý về triển khai của định thức liên tiếp) . Tổng những tích của các phần tử của một trong những hàng của định thức và những phép cộng đại số tương xứng bằng định thức.

(Chứng minh như một bài xích tập.)

Định lý. Tổng các tích của các phần tử thuộc hàng thiết bị i của định thức với phần đại số tương xứng với các thành phần của hàng thiết bị j (i¹j) bằng 0.

Trong chủ đề này, chúng tôi xem xét các khái niệm đại số phần bù và phần phụ. Phần trình bày của tư liệu dựa trên các thuật ngữ được lý giải trong chủ thể "Ma trận. Các loại ma trận. Các thuật ngữ cơ bản". Họ cũng đang cần một vài công thức để tính toán các định thức. Vì có khá nhiều thuật ngữ trong chủ đề này liên quan đến trẻ con vị thành niên và bổ sung đại số, tôi đang thêm phần nắm tắt để giúp bạn dễ dàng tìm phát âm tài liệu hơn.

Con $ M_ (ij) $ của thành phần $ a_ (ij) $

$ M_ (ij) $ yếu tố$ a_ (ij) $ ma trận $ A_ (n lần n) $ để tên mang lại định thức của ma trận chiếm được từ ma trận $ A $ bằng phương pháp xóa hàng sản phẩm i cùng cột đồ vật j (tức là hàng với cột trên giao điểm mà thành phần nằm $ a_ (ij) $).

Ví dụ: hãy xem xét ma trận vuông bậc 4: $ A = left ( begin (array) (ccc) 1 & 0 & -3 và 9 \ 2 & -7 & 11 và 5 \ -9 & 4 & 25 & 84 \ 3 & 12 & -5 & 58 end (mảng) phải) $. Tra cứu phần tử bé dại của phần tử $ a_ (32) $, có nghĩa là tìm $ M_ (32) $. Đầu tiên, shop chúng tôi viết $ M_ (32) $ nhỏ, và sau đó shop chúng tôi tính giá trị của nó. Để soạn $ M_ (32) $, chúng ta xóa hàng thứ cha và cột thiết bị hai khỏi ma trận $ A $ (nó nằm ở giao điểm của mặt hàng thứ ba và cột đồ vật hai mà bộ phận $ a_ (32) $ là nằm). Bọn họ sẽ cảm nhận một ma trận mới, yếu tố đưa ra quyết định là số bé dại bắt buộc $ M_ (32) $:

Phần bé dại này rất đơn giản tính toán bằng phương pháp sử dụng phương pháp số 2 từ chủ thể tính toán:

$$ M_ (32) = left | begin (array) (ccc) 1 & -3 & 9 \ 2 và 11 và 5 \ 3 và -5 và 58 end (array) right | = 1 cdot 11 cdot 58 + (- 3) cdot 5 cdot 3 + 2 cdot (-5) cdot 9-9 cdot 11 cdot 3 - (- 3) cdot 2 cdot 58-5 cdot (-5) cdot 1 = 579. $$

Vì vậy, phần tử nhỏ tuổi của phần tử $ a_ (32) $ là 579, tức là $ M_ (32) = 579 $.

Thông thường, thay vì cụm tự "phụ của yếu tố ma trận" vào tài liệu, có "phụ của nhân tố quyết định". Thực chất vẫn giữ lại nguyên: để mang phần tử nhỏ tuổi nhất của thành phần $ a_ (ij) $, bạn phải xóa hàng thứ i và cột máy j khỏi định thức ban đầu. Các thành phần còn lại được viết thành một định thức mới, là phần tử nhỏ dại của phần tử $ a_ (ij) $. Ví dụ, hãy search số nhỏ dại của phần tử $ a_ (12) $ của định thức $ left | begin (array) (ccc) -1 & 3 và 2 \ 9 và 0 & -5 \ 4 & -3 và 7 over (array) right | $. Để viết $ M_ (12) $ phụ bắt buộc, bọn họ cần xóa bậc nhất tiên với cột máy hai ngoài định thức đang cho:


Để tìm giá trị của phân thức này, họ sử dụng công thức hàng đầu của siêng đề tính các định thức bậc hai và bậc ba:

$$ M_ (12) = left | begin (array) (ccc) 9 & -5 \ 4 và 7 over (array) right | = 9 cdot 7 - (- 5) cdot 4 = 83. $$

Vì vậy, phần tử bé dại của bộ phận $ a_ (12) $ là 83, tức là $ M_ (12) = 83 $.

Phần bù đại số $ A_ (ij) $ của thành phần $ a_ (ij) $

Cho ma trận vuông $ A_ (n times n) $ (tức là ma trận vuông bậc n) được mang lại trước.

Phép cùng đại số$ A_ (ij) $ yếu ớt tố$ a_ (ij) $ của ma trận $ A_ (n times n) $ được tra cứu thấy theo bí quyết sau: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) cdot M_ (ij), $ $

trong đó $ M_ (ij) $ là con của bộ phận $ a_ (ij) $.

Tìm phần bù đại số của thành phần $ a_ (32) $ của ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) 1 & 0 và -3 và 9 \ 2 & -7 và 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84 \ 3 & 12 & -5 và 58 over (array) right) $, có nghĩa là tìm $ A_ (32) $. Trước đây, công ty chúng tôi đã tìm thấy số nhỏ tuổi $ M_ (32) = 579 $, bởi vậy shop chúng tôi sử dụng kết quả:


Thông thường, khi tìm những phần bù đại số, phần phụ không được xem riêng, và chỉ sau đó phần bù của thiết yếu nó. Mục bé dại bị quăng quật qua. Ví dụ: tìm $ A_ (12) $ trường hợp $ A = left ( begin (array) (ccc) -5 & 10 và 2 \ 6 & 9 và -4 \ 4 và -3 và 1 end ( mảng) phải) $. Theo công thức $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) cdot M_ (12) = - M_ (12) $. Mặc dù nhiên, để sở hữu được $ M_ (12) $, chỉ việc gạch bỏ bậc nhất tiên cùng cột thiết bị hai của ma trận $ A $, vậy nguyên nhân phải giới thiệu thêm một ký hiệu cho số nhỏ? chúng ta hãy ngay mau lẹ viết ra biểu thức cho chỗ bù đại số $ A_ (12) $:


Bậc bé dại thứ k của ma trận $ A_ (m lần n) $

Nếu trong nhì phần trước họ chỉ nói về ma trận vuông, thì sống đây bọn họ cũng sẽ nói tới ma trận hình chữ nhật, trong những số đó số mặt hàng không duy nhất thiết phải bằng số cột. Bởi vì vậy, cho trước ma trận $ A_ (m times n) $, tức là một ma trận chứa m hàng cùng n cột.

Thứ tự thiết bị k nhỏ tuổi của ma trận $ A_ (m times n) $ là định thức tất cả các phần tử nằm tại giao điểm của k hàng cùng k cột của ma trận $ A $ (giả sử rằng $ k≤ m $ cùng $ k≤ n $ ).

Ví dụ: hãy chăm chú ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 0 & -3 và 9 \ 2 và 7 & 14 & 6 \ 15 và -27 và 18 & 31 \ 0 & 1 & 19 và 8 \ 0 và -12 & 20 và 14 \ 5 và 3 và -21 & 9 \ 23 & -10 & -5 & 58 end (array) right) $ và viết ra mang lại nó đồ vật gi hoặc một phần nhỏ của lắp thêm tự thiết bị ba. Để viết một phụ bậc ba, họ cần chọn ba hàng và tía cột bất kỳ của ma trận này. Ví dụ, bọn họ hãy lấy những hàng bao gồm số 2, 4, 6 và những cột có số 1, 2, 4. Trên giao điểm của những hàng cùng cột này, các thành phần của số phụ bắt buộc sẽ được định vị. Trong hình, các bộ phận của con bé dại được hiển thị bằng blue color lam:


Trẻ thanh niên của đơn hàng đầu tiên nằm tại giao điểm của một hàng và một cột, tức là các phần tử bậc nhất bằng các bộ phận của ma trận đã cho.

Con bậc lắp thêm k của ma trận $ A_ (m times n) = (a_ (ij)) $ được hotline là nhà yếu, giả dụ đường chéo chính của đường chéo phụ đã cho chỉ chứa các phần tử đường chéo chính của ma trận $ A $.

Hãy để tôi nhắc các bạn rằng các bộ phận đường chéo chính là những phần tử ma trận bao gồm chỉ số bằng nhau: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $, v.v. Ví dụ, đối với ma trận $ A $ đã xét ở trên, các phần tử này là $ a_ (11) = - 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = 8 $. Chúng được tô màu sắc hồng vào hình:


Ví dụ, nếu trong ma trận $ A $, chúng ta gạch bỏ những hàng cùng cột có hàng đầu và 3, thì trên giao điểm của chúng sẽ sở hữu được các thành phần của bậc thứ hai, trên đường chéo cánh chính của nó sẽ chỉ tất cả đường chéo. Các bộ phận của ma trận $ A $ (các phần tử $ a_ (11) = -1 $ cùng $ a_ (33) = 18 $ ma trận $ A $). Vì chưng đó, cửa hàng chúng tôi nhận được phụ bao gồm của đơn hàng thứ hai:


Đương nhiên, chúng ta cũng có thể lấy những hàng và cột không giống - ví dụ, với số 2 và 4, trong lúc lấy một số phụ chủ yếu khác của thiết bị tự lắp thêm hai.

Đặt một vài $ M $ nhỏ bậc máy k của ma trận $ A_ (m times n) $ khác 0, có nghĩa là $ M neq 0 $. Trong trường hợp này, toàn bộ trẻ vị thành niên bao gồm thứ tự cao hơn nữa k đều bằng không. Tiếp đến $ M $ nhỏ được điện thoại tư vấn là nền tảng, và các hàng cùng cột cơ mà các phần tử của phần phụ cơ bạn dạng được bỏ lên trên đó được call là đường đại lý Và cột cơ sở.

Ví dụ: hãy cẩn thận ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 & 0 và 3 và 0 & 0 \ 2 và 0 và 4 & 1 & 0 \ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \ 0 và 0 & 0 & 0 và 0 over (mảng) phải) $. Họ viết con số nhỏ của ma trận này, các bộ phận của chúng nằm ở vị trí giao điểm của những hàng cùng với số 1, 2, 3 và cột với số 1, 3, 4. Họ nhận được một số nhỏ tuổi bậc ba:


Hãy cùng tìm quý giá của phân thức này bởi công thức số 2 từ chuyên đề tính những định thức bậc 2 và bậc 3:

$$ M = left | begin (array) (ccc) -1 và 3 và 0 \ 2 & 4 & 1 \ 1 và -2 và -1 over (array) right | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Vậy $ M = 11 neq 0 $. Bây chừ chúng ta thử viết bất kỳ trẻ vị thành niên nào, lắp thêm tự của chúng cao hơn nữa ba. Để thực hiện một số nhỏ dại của bậc trang bị tư, họ phải thực hiện dòng lắp thêm tư, mặc dù nhiên, toàn bộ các bộ phận của chiếc này đều bởi không. Bởi đó, trong bất kỳ trẻ thanh niên bậc 4 nào sẽ có hàng 0, tức là tất cả các trẻ vị thành niên bậc 4 đều bằng 0. Cửa hàng chúng tôi không thể soạn những phần nhỏ của giao dịch thứ năm trở lên, do ma trận $ A $ chỉ tất cả 4 hàng.

Chúng tôi vẫn tìm thấy một phụ bậc bố không bằng không. Trong trường thích hợp này, toàn bộ trẻ thiếu niên của các đơn hàng cao rộng đều bằng 0, bởi vì đó, trẻ vị thành niên được chúng tôi coi là cơ bản. Những hàng của ma trận $ A $, trên đó để các bộ phận của phần bé dại này (thứ nhất, thiết bị hai cùng thứ ba), là các hàng cơ bạn dạng và các cột đầu tiên, thứ tía và thứ tư của ma trận $ A $ là những cột cơ bạn dạng .

Ví dụ này, tất nhiên, là trung bình thường, vì mục đích của nó là nhằm hiển thị rõ ràng thực chất của trẻ con vị thành niên cơ bản. Nói chung, rất có thể có một số trong những trẻ thanh niên cơ bản, với thông thường quy trình tìm tìm trẻ vị thành niên như vậy tinh vi và phức tạp hơn nhiều.

Xin trình làng thêm một tư tưởng - tè giáp.

Đặt một số nhỏ trong số bậc vật dụng k $ M $ của ma trận $ A_ (m times n) $ nằm ở giao điểm của k hàng cùng k cột. Hãy thêm 1 hàng và cột nữa vào tập hợp các hàng cùng cột này. Sản phẩm công nghệ tự sản phẩm công nghệ (k + 1) -th công dụng được call là tua rua cho $ M $ trẻ con vị thành niên.

Ví dụ: hãy chu đáo ma trận $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 và 2 và 0 & -2 & -14 \ 3 & -17 & -3 và 19 và 29 \ 5 và - 6 và 8 & -9 & 41 \ -5 và 11 và 19 & -20 & -98 \ 6 & 12 & 20 & 21 và 54 \ -7 & 10 và 14 và -36 & 79 over (mảng ) đúng) $. Hãy viết một trong những phần nhỏ của bậc máy hai, các thành phần của chúng nằm tại vị trí giao điểm của sản phẩm số 2 với số 5, cũng giống như cột số 2 và số 4.


Hãy thêm hàng hàng đầu vào tập hợp những hàng cất các phần tử của $ M $ nhỏ dại và cột # 5 vào tập hợp các cột. Shop chúng tôi nhận được một $ M "$ phụ new (đã có thứ tự máy ba), có các bộ phận nằm sinh sống giao điểm của những hàng số 1, số 2, số 5 và những cột số 2, số 4, số 5 . Các thành phần của $ M $ nhỏ dại trong hình được khắc ghi bằng color hồng với các phần tử chúng tôi phân phối $ M $ nhỏ tuổi có blue color lục:


$ M $ nhỏ dại "$ là yếu tắc phụ giáp với $ M $ nhỏ. Tương tự, thêm mặt hàng # 4 vào tập hợp các hàng đựng các bộ phận của $ M $ nhỏ và cột # 3 vào tập hợp các cột, bọn họ nhận được $ M nhỏ "" $ (thứ yếu ớt của máy tự trang bị ba):


$ M "" $ nhỏ dại cũng là phụ ở biên giới cho $ M $ nhỏ.

Số nhỏ tuổi bậc k của ma trận $ A_ (n lần n) $. Bổ sung cập nhật phụ. Phần bù đại số cho nhỏ của ma trận vuông.

Hãy quay lại ma trận vuông. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một con trẻ vị thành niên vấp ngã sung.

Cho trước một số trong những $ M $ bé dại bậc k của ma trận $ A_ (n lần n) $. Định thức của sản phẩm công nghệ tự (n-k), mà các bộ phận của nó thu được từ ma trận $ A $ sau khi xóa các hàng cùng cột chứa $ M $ nhỏ, được call là thành phần nhỏ, bổ sung cập nhật cho trẻ con vị thành niên$ M $.

Ví dụ: hãy xem xét một ma trận vuông bậc 5: $ A = left ( begin (array) (ccc) -1 và 2 & 0 & -2 và -14 \ 3 và -17 & -3 và 19 & 29 5 và -6 và 8 & -9 và 41 \ -5 và 11 và 16 và -20 và -98 \ -7 và 10 & 14 & -36 & 79 over (array) right) $. Hãy lựa chọn hàng tiên phong hàng đầu và số 3 trong đó, cũng tương tự cột số 2 với số 5. Tại giao điểm của những hàng cùng cột này sẽ có được các bộ phận của $ M $ nhỏ dại nhất của đồ vật tự thứ hai:


Bây giờ họ hãy sa thải các hàng tiên phong hàng đầu và số 3 và những cột số 2 cùng số 5 khỏi ma trận $ A $, tại giao điểm của chúng tất cả các thành phần của $ M $ nhỏ tuổi (các hàng với cột đã thải trừ được hiển thị trong red color trong hình mặt dưới). Các phần tử còn lại tạo ra thành $ M nhỏ dại "$:


$ M "$ phụ, có thứ trường đoản cú $ 5-2 = 3 $, là một phụ bổ sung cập nhật cho $ M $ phụ.

Phần bổ sung cập nhật đại số mang lại trẻ vị thành niên$ M $ của ma trận vuông $ A_ (n times n) $ là biểu thức $ (- 1) ^ ( alpha) cdot M "$, trong các số ấy $ alpha $ là tổng số hàng với cột của ma trận $ A $, trên đó các thành phần của $ M $ bé dại nằm trên đó và $ M "$ là phần phụ bổ sung cho $ M $ nhỏ.

Xem thêm: Điều Kiện Hàm Log Arit Xác Định Hay Nhất, Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Mũ

Cụm từ bỏ "phần bù đại số đến $ M $ phụ" hay được thay thế bằng nhiều từ "phần bù đại số mang lại $ M $ phụ".

Ví dụ, hãy cẩn thận ma trận $ A $, mà shop chúng tôi tìm thấy ma trận máy hai $ M = left | begin (array) (ccc) 2 & -14 \ -6 và 41 over (array) right | $ và bậc thứ cha của nó: $ M "= left | begin (array) (ccc) 3 & -3 và 19 \ -5 và 16 và -20 \ -7 và 14 & -36 over (array ) right | $ biểu thị phần bù đại số của $ M $ phụ cùng với $ M ^ * $ kế tiếp theo định nghĩa:

$$ M ^ * = (- 1) ^ alpha cdot M ". $$

Tham số $ alpha $ bằng tổng số hàng với cột nơi chứa $ M $ nhỏ. Vị trí nhỏ tuổi này nằm tại giao điểm của các hàng # 1, # 3 và những cột # 2, # 5. Vì chưng đó, $ alpha = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Mang đến nên:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) cdot M "= - left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -20 \ -7 và 14 và -36 over (mảng) buộc phải |. $$

Về nguyên tắc, thực hiện công thức số 2 từ công ty đề đo lường và tính toán định thức bậc hai cùng bậc ba, chúng ta cũng có thể đưa phép tính về cuối, nhận giá tốt trị $ M ^ * $:

$$ M ^ * = - left | begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ -5 và 16 & -20 \ -7 và 14 & -36 over (array) right | = -30. $$