Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức và kỹ năng cơ sở cho những bài học về nhân chia 1-1 thức, nhiều thức quan trọng đặc biệt trong những biểu thức phân số có chứa biến chuyển trong công tác toán 8 và cả các lớp sau này.
Bạn đang xem: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và bài tập vận dụng
Chính vị vậy, mà việc nắm vững những cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, team hạng tử, hay phương pháp dùng hằng đẳng thức là vấn đề rất cần thiết. Nội dung bài viết dưới đây vẫn tổng hòa hợp các phương thức phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng giải các dạng bài tập này.
I. Các phương thức phân tích nhiều thức thành nhân tử
1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung
* Phương pháp:
- Tìm nhân tử chung là những đơn thức, nhiều thức xuất hiện trong tất cả các hạng tử.
- đối chiếu mỗi hạng tử các kết quả của nhân tử tầm thường và một nhân tử khác.
- Viết nhân tử chung ra phía bên ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử còn sót lại của mỗi hạng tử vào trong lốt ngoặc (và cả vệt của chúng).
* Ví dụ. phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.
a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)
b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)
2. Phân tích nhiều thức thành nhân tử với phương thức dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp:
- đổi khác đa thức chúng ta đầu về dạng thân thuộc của hằng đẳng thức, kế tiếp sử dụng hằng đẳng thức để gia công xuất hiên nhân tử chung.
- Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ:
♦ (A+B)2= A2+2AB+B2
♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2
♦ A2–B2= (A-B)(A+B)
♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3
♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3
♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)
♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)
♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử.
a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2 + 9x2y4)
c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm những hạng tử
* Phương pháp:
- phối kết hợp các hạng tử tương thích thành từng nhóm.
- Áp dụng tiếp tục các phương pháp đặt nhân tử bình thường hoặc sử dụng hằng đẳng thức.
* Ví dụ: Phân tích các nhiều thức sau thành nhân tử
a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc bóc tách hạng tử nhằm phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp:
- áp dụng thêm sút hạng tử linh hoạt để mang về team hạng tử phổ biến hoặc sử dụng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2
= (x2+2-2x)(x2+2+2x)
b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2
= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)
c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)
=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)
hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
5. Phối thích hợp nhiều phương pháp để phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp: Sử dụng các phương pháp trên theo sản phẩm công nghệ tự ưu tiên.
- cách thức đặt nhân tử chung.
- phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- cách thức nhóm những hạng tử.
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy2 - 6xy + 3x
= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)
= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong đoạn này A là y B là 1)
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)
= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong đoạn này A là x; B là 1)
= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong đoạn này A là x+ 1 còn B là y)
II. áp dụng giải một số trong những dạng bài xích tập phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích nhiều thức thành nhân tử
a) 3x - 6y;
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x).
* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x)
- Ta thấy: y - x = –(x – y) nên ta có:
10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 cùng y = 1999.
* giải mã bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- lưu lại ý: cùng với dạng bài bác tập này bọn họ cần đối chiếu hạng tử để lộ diện nhân tử chung rồi đối chiếu thành nhân tử trước khi tính giá bán trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x - 1) - y(1 - x)
- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) đề nghị ta có:
x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* giải mã bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
⇔
- tóm lại có 2 quý giá x vừa ý là x = 2000 với x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
⇔
- Kết luận: Có cha giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 và x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54 (với n là số từ nhiên)
* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54
- vì chưng 54 chia hết cho 54 buộc phải 55n.54 luôn luôn chia hết cho 54 cùng với n là số trường đoản cú nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54.
Bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c) ; d)
* lời giải bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)
= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) ; b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
* giải mã bài 44 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>
= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 2 - 25x2 = 0
b)
* giải mã bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:
a) 2 - 25x2 = 0
- Kết luận: vậy gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 cùng x= √2/5.
b)
- Kết luận: vậy có một nghiệm thoả là x=1/2.
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh
a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22
* giải mã bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* giải thuật bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử sản phẩm 1 cùng thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thiết bị 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử thứ nhất với nhau cùng hai hạng tử cuối với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) cách 2: Nhóm hạng tử lần đầu tiên với hạng tử vật dụng 3; hạng tử thứ hai với hạng tử lắp thêm 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).
Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 4x –y2 + 4
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
* giải mã Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)
= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>
= 3<(x + y)2 – z2>
= 3(x + y – z)(x + y + z)
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 = <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)> = (x – y – z + t)(x – y + z –t) Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 * giải thuật bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ 
- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0
⇔
- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.
Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy – x2 – y2 + 16
* giải thuật bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x.1
= x(x2 – 2x + 1)
= x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)
= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>
= 2<(x + 1)2 – y2>
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy – x2 – y2 + 16
= 16 – (x2 – 2xy + y2)
= 42 – (x – y)2
= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 phân chia hết mang đến 5 với mọi số nguyên n.
* giải mã bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)
- vị 5 ⋮ 5 cần 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
Xem thêm: Tính Căn Bậc 3 — Bảng Tính Trực Tuyến, Đồ Thị, Công Thức, Tính Căn Bậc 3 Online
⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết đến 5 với n ∈ Ζ
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương thức đã học để phân tích mà lại nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 với từ đó tiện lợi phân tích tiếp.
Cũng gồm thể bóc tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta tất cả x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, tự đó thuận lợi phân tích tiếp)