A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng mang đến vectơ

*
. Phép biến hình vươn lên là mỗi điểm
*
thành điểm
*
sao cho
*
được hotline làphép tịnh tiến theo vectơ
*
.

Bạn đang xem: Phép tịnh tiến lớp 11

Phép tịnh tiến theo vectơ

*
được kí hiệu là
*
.

Vậy thì

*
.

Nhận xét:

*
.

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong khía cạnh phẳng

*
cho điểm
*
và
*
.

Gọi

*

Hệ

*
được điện thoại tư vấn là biểu thức tọa độ của
*
.

3. đặc thù của phép tịnh tiến

- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

- đổi mới một con đường thẳng thành con đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng sẽ cho.

- phát triển thành đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bằng nó.

- biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đang cho.

- phát triển thành một con đường tròn thành con đường tròn gồm cùng phân phối kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1.Cho tam giác

*
, dựng hình ảnh của tam giác
*
qua phép tịnh tiến theo vec tơ
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

Để tìm ảnh của điểm

*
ta dựng hình bình hành
*
. Do
*
nên
*
, gọi
*
là điểm đối xứng với
*
qua
*
, khi đó
*

Suy ra

*
. Vậy ảnh của tam giác
*
là tam giác
*
.

Ví dụ 2.Trong phương diện phẳng tọa độ

*
, cho
*
. Hãy tìm ảnh của những điểm
*
qua phép tịnh tiến theo vectơ
*
.

A.
*
.		B.
*
.
C.
*
.		D.
*
.

Lời giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

*
.

Gọi

*
.

Tương tự ta có ảnh của

*
là điểm
*
.

Ví dụ 3.Trong khía cạnh phẳng tọa độ

*
, cho
*
và đường thẳng
*
có phương trình
*
. Viết phương trình mặt đường thẳng
*
là hình ảnh của
*
qua phép tịnh tiến
*
.

A.
*
.		B.
*
.
C.
*
.		D.
*
.

Lời giải:

Cách 1.Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm

*
tùy ý thuộc
*
, ta có
*

Gọi

*

Thay vào (*) ta được phương trình

*
.

Vậy ảnh của

*
là con đường thẳng
*
.

Cách 2.Sử dụng đặc điểm của phép tịnh tiến

Do

*
nên
*
song tuy vậy hoặc trùng với
*
, vị vậy phương trình con đường thẳng
*
có dạng
*
.(**)

Lấy điểm

*
. Lúc đó
*
.

Do

*

Vậy hình ảnh của

*
là con đường thẳng
*
.

Cách 3.Để viết phương trình

*
ta rước hai điểm phân biệt
*
thuộc
*
, kiếm tìm tọa độ những ảnh
*
tương ứng của chúng qua
*
. Lúc đó
*
đi qua nhì điểm
*
và
*
.

Cụ thể: Lấy

*
thuộc
*
, khi đó tọa độ các hình ảnh tương ứng là
*
. Do
*
đi qua hai điểm
*
nên có phương trình
*
.

Ví dụ 4.Trong phương diện phẳng tọa độ

*
, mang lại đường tròn
*
có phương trình
*
. Tìm ảnh của
*
qua phép tịnh tiến theo vectơ
*
.

A.
*
.		B.
*
.
C.
*
.		D.
*
.

Lời giải:

Cách 1.Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm

*
tùy ý thuộc mặt đường tròn
*
, ta có
*

Gọi

*

Thay vào phương trình (*) ta được

*
.

Vậy hình ảnh của

*
là con đường tròn
*
.

Cách 2.Sử dụng đặc thù của phép tịnh tiến

Dễ thấy

*
có tâm
*
và buôn bán kính
*
. Gọi
*
và
*
là tâm và bán kính của
*
.

Ta có

*
và
*
nên phương trình của mặt đường tròn
*
là
*

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN khi BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến có nghĩa là tìm tọa độ của

*
. Để tìm kiếm tọa độ của
*
ta rất có thể giả sử
*
, sử dụng các dữ khiếu nại trong trả thiết của vấn đề để tùy chỉnh hệ phương trình nhì ẩn
*
và giải hệ tìm
*
.

Ví dụ 1.Trong phương diện phẳng tọa độ

*
,cho con đường thẳng
*
. Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ
*
có giá tuy nhiên song với
*
biến
*
thành
*
đi qua điểm
*
.

A.
*
.		B.
*
.
C.
*
.		D.
*
.

Lời giải:

*
có giá song song với
*
nên
*

Lấy

*
. Gọi
*
thay vào
*

Hay

*
, mà
*
đi qua
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 2.Trong khía cạnh phẳng tọa độ

*
, cho đường nhì thẳng
*
và
*
. Tra cứu tọa độ
*
có phương vuông góc với
*
để
*
.

A.
*
.		B.
*
.
C.
*
.		D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, đem điểm
*
tùy ý thuộc
*
, ta có
*

Gọi sử

*
.Ta có
*
, cố kỉnh vào (*) ta được phương trình
*
.

Từ mang thiết suy ra

*
.

Vec tơ pháp tuyến của mặt đường thẳng

*
là
*
suy ra VTCP
*
.

Do

*
.

Ta bao gồm hệ phương trình

*
.Vậy
*
.

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm

*
ta tìm biện pháp xem nó là ảnh của một điểm sẽ biết sang một phép tịnh tiến, hoặc xem
*
là giao điểm của nhì đường trong những số đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một mặt đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý:Ta hay sử dụng kết quả: Nếu

*
và
*
thì
*
trong đó
*
và phối kết hợp với
*
thuộc hình
*

(trong mang thiết) suy ra

*
.

Ví dụ 1.Cho mặt đường tròn tâm

*
, chào bán kính
*
và nhì điểm phân biệt
*
nằm ngoài
*
. Hãy dựng dây cung
*
của mặt đường tròn
*
sao cho
*
là hình bình hành.

Lời giải:

Phân tích:Giả sử đã dựng được dây cung

*
thỏa mãn yêu cầu bài xích toán

Do

*
là hình bình hành nên
*
*
.

Nhưng

*
. Vậy
*
vừa thuộc
*
và
*
nên
*
chính là giao điểm của
*
và
*
.

Cách dựng:

- Dựng đường tròn

*
là ảnh của con đường tròn
*
qua
*
.

- Dựng giao điểm

*
của
*
và
*
.

- Dựng mặt đường thẳng qua

*
và tuy vậy song với
*
cắt
*
tại
*
.

Dây cung

*
là dây cung thỏa yêu cầu bài xích toán.

Chứng minh:Từ giải pháp dựng ta có

*
là hình bình hành.

Biện luận:

- Nếu

*
2R" />thì bài toán vô nghiệm .

- Nếu

*
thì gồm một nghiệm .

- Nếu

*
. Dựng con đường thẳng
*
song tuy nhiên với
*
, giảm hai cạnh
*
lần lượt tại
*
sao cho
*
.

Lời giải:

Phân tích:Giả sử đang dựng được đường thẳng

*
thỏa mãn bài bác toán. Từ
*
dựng đường thẳng song song với
*
cắt
*
tại
*
, khi đó
*
là hình bình hành nên
*
. Lại có
*
suy ra
*
, từ đó ta có
*
là phân giác trong của góc
*
.

Cách dựng:

- Dựng phân giác trong

*
của góc
*
.

- Dựng con đường thẳng đi qua

*
song song với
*
cắt
*
tại
*
.

- Dựng ảnh

*
.

Đường thẳng

*
chính là con đường thẳng thỏa yêu cầu bài xích toán.

Chứng minh:Từ bí quyết dựng ta có

*
là hình bình hành suy ra
*
và
*
, ta có
*
cân tại
*
*
.

Vậy

*
.

Biện luận:Bài toán có một nghiệm hình

Ví dụ 3.Cho hai tuyến đường tròn

*
và
*
cắt nhau tại
*
. Dựng đường thẳng
*
đi qua
*
cắt các đường tròn tại những điểm thiết bị hai
*
sao cho
*
cho trước.

Lời giải:


Giả sử vẫn dựng được mặt đường thẳng

*
đi qua
*
và cắt những đường tròn
*
tương ứng tại các điểm
*
sao cho
*
.

Kẻ

*
và
*
.

Xét

*
.

Do tam giác

*
vuông tại
*
nên
*
.


Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu

*
và đểm
*
di đụng trên hình
*
thì điểm
*
thuộc hình
*
, vào đó
*
là hình ảnh của hình
*
qua
*
.

Ví dụ 1.Cho nhì điểm phân biệt

*
cố định trên tuyến đường tròn
*
tâm
*
. Điểm
*
di động trên
*
. Chứng tỏ khi
*
di đụng trên
*
thì trực vai trung phong của tam giác
*
di hễ trên một mặt đường tròn.

Lời giải:

Gọi

*
là trực trung ương của tam giác
*
và
*
là trung điểm của
*
. Tia
*
cắt mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác
*
tại
*
. Vì
*
, nên
*
. Tương tự
*
, vị đó
*
là hình bình hành.Suy ra
*
không đổi.

*
, do vậy khi
*
di rượu cồn trên nhịn nhường tròn
*
thì
*
di động trên phố tròn
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
có đỉnh
*
cố định,
*
không thay đổi và
*
không đổi. Kiếm tìm tập hợp các điểm
*
.

Lời giải:

Gọi

*
là trung ương đường tròn nước ngoài tiếp tam giác
*
, khi đó theo định lí sin ta có
*
không đổi

( do

*
không đổi).

Vậy

*
, nên
*
di động trê tuyến phố tròn tâm
*
bán kính
*
. Ta có
*
không thay đổi và
*
không thay đổi suy ra
*
không đổi. Phương diện khác
*
có phương không đổi nên
*
cũng bao gồm phương ko đổi.

Đặt

*
không đổi , thì
*
.

Xem thêm: 5 Quan Điểm Của Đảng Về Công Nghiệp Hóa Hiện Đại Hóa, Mục Tiêu, Quan Điểm Công Nghiệp Hóa, Hiện Đại Hóa

Vậy tập phù hợp điểm

*
là con đường tròn
*
ảnh của
*
qua
*
, cùng tập thích hợp điểm
*
là mặt đường tròn
*
ảnh của
*
qua
*
.