Trung trung ương Gia sư Hà Nội chia sẻ cho những em cách minh chứng đẳng thức véctơ, một dạng Toán thuộc chương 1, Hình học 10, Toán lớp 10.
Bạn đang xem: Phương pháp chứng minh đẳng thức
Để làm được dạng bài tập này yên cầu các em phải nắm được lý thuyết, những quy tắc. Biết sử dụng những phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với cùng 1 số, tích vô hướng. Và sử dụng các quy tắc trung điểm, trung tâm tam giác, giữa trung tâm tứ diện, phép tắc hình bình hành, hình hộp, …
Phương pháp minh chứng đẳng thức vectơ
1) Sử dụng:
+ quy tắc 3 điểm: $overrightarrowA B+overrightarrowB C=overrightarrowA C, overrightarrowA C-overrightarrowA B=overrightarrowB C$ với tất cả $A, B, C$.
+ phép tắc hình bình hành: $overrightarrowA B+overrightarrowA D=overrightarrowA C$ cùng với $ABCD$ là hình bình hành.
+ nguyên tắc trung điểm: $overrightarrowM A+overrightarrowM B=2 overrightarrowM I$ với $I$ là trung điểm của $A B$.
+ nguyên tắc trọng tâm: $overrightarrowG A+overrightarrowG B+overrightarrowG C=overrightarrow0$ với $G$ là trong trái tim tam giác $A B C$.
+ các tính chất của những phép toán.
2) tiến hành các phép biến hóa theo một trong các hướng sau:
+ chuyển đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là khởi đầu từ vế phức tạp chuyển đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).
+ chuyển đổi đẳng thức cần minh chứng về tương tự với một đẳng thức luôn luôn đúng.
+ xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến hóa về đẳng thức đề nghị chứng minh.
– Chú ý: $Delta A B C$ cùng $Delta A^prime B^prime C^prime$ gồm cùng trong tim khi và bỏ ra $mathrmkhi overlineA A^prime+overlineB B^prime+overlineC C^prime=overrightarrow0$
Bài tập chứng minh đẳng thức véctơ gồm lời giải:
Bài toán 1: cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng tỏ rằng:
a) $overrightarrowA B+overrightarrowC D=overrightarrowA D+overrightarrowC B$
b) $overrightarrowA B-overrightarrowC D=overrightarrowA C-overrightarrowB D$
Cách 1: biến hóa vế trái (VT) ta có: $V T=overrightarrowA B+overrightarrowC D=(overrightarrowA D+overrightarrowD B)+(overrightarrowC B+overrightarrowB D) quad=overrightarrowA D+overrightarrowC B+overrightarrowD B+overrightarrowB D quad=overrightarrowA D+overrightarrowC B+overrightarrow0$ $=overrightarrowA D+overrightarrowC B=V P$
Nhận xét thực hiện cách giải này, ta cần để ý khi bién đổi những số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm mở ra các số hạng bao gồm ở vế mặt kia. Chẳng hạn số hạng ngơi nghỉ vế trái là $overrightarrowA B$ tuy thế vế phải tất cả chứa $overrightarrowA D$ bắt buộc ta viết $overrightarrowA B=overrightarrowA D+overrightarrowD B$
Cách 2: Ta có:
$overrightarrowA B+overrightarrowC D=overrightarrowA D+overrightarrowC B(1) Leftrightarrow overrightarrowA B-overrightarrowA D=overrightarrowC B-overrightarrowC D Leftrightarrow overrightarrowD B=overrightarrowD B(2)$
Ta có (2) luôn đúng vậy (1) được triệu chứng minh.
Cách 3: Ta có:
$overrightarrowA B+overrightarrowB C+overrightarrowC D+overrightarrowD A=overrightarrow0$
Suy ra $overrightarrowA B+overrightarrowC D=-overrightarrowD A-overrightarrowB C$
Do đó: $overrightarrowA B+overrightarrowC D=overrightarrowA D+overrightarrowC B$
b) Ta có:
$VT=overrightarrowA B-overrightarrowC D=(overrightarrowA C+overrightarrowC B)-(overrightarrowC B+overrightarrowB D)=overrightarrowA C-overrightarrowB D+overrightarrowC B-overrightarrowC B=overrightarrowA C-overrightarrowB D=VP$
Tương từ bỏ ta cũng có các cách minh chứng khác mang đến câu b.
Bài toán 2 : mang đến tam giác $A B C$ với $G$ là trong trái tim tam giác $A B C$. A) minh chứng rằng: $overrightarrowM A+overrightarrowM B+overrightarrowM C=3 overrightarrowM G$ b) tìm kiếm tập phù hợp điểm $M$ sao để cho $overrightarrowM A+overrightarrowM B+overrightarrowM C=0$ $eginarrayllll ext a) & ext Ta & ext có: & overrightarrowM A+overrightarrowM B+overrightarrowM C & =(overrightarrowM G+overrightarrowG A)+(overrightarrowM G+overrightarrowG B)+(overrightarrowM G+overrightarrowG C)endarray$ $=3 overrightarrowM G+(overrightarrowG A+overrightarrowG B+overrightarrowG C)=3 overrightarrowM G+overrightarrow0=3 overrightarrowM G$ b) $mathrmVi overrightarrowM A+overrightarrowM B+overrightarrowM C=overrightarrow0$ $3 overrightarrowM G=overrightarrow0$ tốt $overrightarrowM G=overrightarrow0$ do do $M equiv G$ Suy ra tập vừa lòng $M$ thỏa mắn $overrightarrowM A+overrightarrowM B+overrightarrowM C=vecO$ là $G$.
Bài tập chứng tỏ đẳng thức véctơ từ giải:
Bài 1. Cho tứ diện $ ABCD$. điện thoại tư vấn $ M$ và $ N$ lần lượt là trung điểm $ AB$ cùng $ CD.$ triệu chứng minh:
a) $ displaystyle 2overrightarrowMN=overrightarrowAD+overrightarrowBC=overrightarrowAC+overrightarrowBD$
b) Điểm $ G$ là trọng tâm của tứ diện $ ABCD$ khi và chỉ còn khi $ displaystyle overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD=overrightarrow0$
Bài 2. Cho tứ diện $ ABCD$ với $ G$ là trọng tâm.
Xem thêm: Free Fire Tiếng Việt Là Gì ? 99% Người Chơi Hiểu Sai Nghĩa Review Số 001
a) chứng tỏ $ overrightarrowAB+overrightarrowAC+overrightarrowAD=4overrightarrowAG$
b) gọi $ A’$ là trọng tâm tam giác $ BCD$. Chứng minh: $overrightarrowA’B.overrightarrowAA’+overrightarrowA’C.overrightarrowAA’+overrightarrowA’D.overrightarrowAA’=vec0$
Bài 3. Cho hình vỏ hộp $ ABCD.A"B"C"D’$. Hotline $ D_1$, $ D_2$, $ D_3$ lần lượt là vấn đề đối xứng của điểm $ D’$ qua $ A$ , $ B’$, $ C$. Minh chứng rằng $ B$ là trung tâm của tứ diện $ D_1D_2D_3D’.$
Ví dụ 3. đến hình vỏ hộp ABCD.A’B’C’D’. Call $D_1, D_2, D_3$ lần lươt là điềm đói xúng của điêm D’ qua $A, B^prime, C .$ bọn chúng tò rằng $B$ là trung tâm của tứ diện $D_1 D_2 D_3 D^prime$
Bài 4. Cho hình chóp $ S.ABCD$.
Chứng minh rằng trường hợp $ ABCD$ là hình bình hành thì $ overrightarrowSB+overrightarrowSD=overrightarrowSA+overrightarrowSC$
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Minh chứng rằng $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $overrightarrowSA+overrightarrowSB+overrightarrowSC+overrightarrowSD=4overrightarrowSO$