Phương Pháp Chứng Minh Trực Tiếp

quan niệm về suy đoán toán học - trình bày các phương thức chứng minh bao gồm: . Minh chứng rỗng . Chứng tỏ tầm thường . Chứng minh trực tiếp . Chứng minh gián tiếp . Chứng tỏ phản triệu chứng . Chứng minh qui nạp

Bạn đang xem: Phương pháp chứng minh trực tiếp


Chương 2: suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG 2 : SUY LUẬN TOÁN HỌC và CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 2.1. Tổng quan • mục tiêu của chương 1 Học hoàn thành chương này, sv phải nắm bắt được những vấn đề sau: - khái niệm về suy luận toán học tập - Các cách thức chứng minh cùng biết vận dụng các cách thức này để chứng tỏ một việc cụ thể. • kiến thức và kỹ năng cơ phiên bản cần thiết các kiến thức cơ bản trong chương này gồm những: - các phép toán đại số, hình học cơ bạn dạng để hoàn toàn có thể đưa ra lấy ví dụ minh họa vào từng phương pháp. - hiểu rõ qui tắc của phép kéo theo làm việc chương 1. • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh. Toán rời rạc ứng dụng trong tin học. Công ty xuất phiên bản Khoa học với Kỹ thuật, hà thành - 1997 (chương 3, trang 208 - 228). • ngôn từ cốt lõi - định nghĩa về suy luận toán học tập - trình bày các cách thức chứng minh gồm những: . Chứng tỏ rỗng . Chứng minh tầm hay . Chứng tỏ trực tiếp . Chứng tỏ gián tiếp . Chứng minh phản chứng . Chứng tỏ qui hấp thụ Trang 28Chương 2: tư duy toán học và Các phương pháp chứng minh 2.2. Suy đoán toán học 2.2.1. Tư tưởng Suy luận được xem như là một một trong những nền tảng tạo ra nên những ngành khoahọc từ bỏ nhiên. Từ bỏ xưa mang đến nay, nhờ vào suy luận mà bạn ta có thể nhận thức được cáichưa biết từ các chiếc đã biết. Suy luận còn là cơ sở của việc sáng tạo. Từ những phánđoán, mang đến các chứng minh để đồng ý hay bác bỏ bỏ một sự việc nào đó. Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh đề, đa phần làphép kéo theo. Để chứng tỏ một vấn đề nào đó, thông thường người ta đề xuất xácđịnh điểm thuở đầu (có thể điện thoại tư vấn là giả thiết) và điểm ngừng (gọi là kết luận). Thừa trìnhđi từ đưa thiết đến kết luận gọi là quá trình chứng minh và quá trình này đươc thực thibằng phương pháp nào thì điện thoại tư vấn đó là phương thức chứng minh. Các phương thức chứng minh là rất quan trọng đặc biệt vì không gần như chúng thườngđược áp dụng trong toán học mà còn được áp dụng nhiều vào tin học. Ví dụ, sự kiểmtra tính đúng chuẩn của một chương trình, của một hệ điều hành, xây dựng những luật suydiễn trong lĩnh vực trí tuệ dìm tạo... Vì đó, chúng ta cần yêu cầu nắm vững các phươngpháp bệnh minh. Mặc dù nhên, bao gồm những phương thức chứng minh đúng vì nó được dựa vào cơ sởcủa một mệnh đề đúng (hằng đúng) và bao gồm những phương thức chứng minh sai. Cácphương pháp chứng tỏ sai này là núm ý hoặc vô ý. Khi phương thức chứng minhdựa trên một hằng không nên thì sẽ có lại công dụng sai nhưng fan ta vẫn chấp nhận cho là đúng thìđược điện thoại tư vấn là núm ý. Đôi khi có những phương pháp chứng minh dựa vào một tiếp liên(có lúc mệnh đề là đúng cơ mà cũng có những lúc sai) mà fan ta tưởng lầm là hằng đúngnên chỉ ra rằng kết quả bao giờ cũng đúng thì trường vừa lòng này hotline là vô ý (hay ngộ nhận). Sau đây, họ sẽ đi tìm kiếm hiểu những qui tắc suy luận. 2.2.2. Những qui tắc tư duy Như đã ra mắt ở trên, đều suy luận bao gồm dùng những qui tắc suy diễn điện thoại tư vấn là suyluận có cơ sở. Khi toàn bộ các suy luận tất cả cơ sở là đúng thì đã dẫn đến một kết luậnđúng. Một suy luận tất cả cơ sở hoàn toàn có thể dẫn mang lại một kết luận sai trường hợp một trong các mệnhđề đã sử dụng trong suy diễn là sai. Sau đấy là bảng những qui tắc suy luận đúng. Trang 29Chương 2: suy luận toán học & Các phương thức chứng minh phép tắc Hằng đúng tên Luật p P→(P∨Q) cùng ∴P ∨Q P∧Q (P∧Q)→P Rút gọn gàng ∴P p (P∧(P→Q))→Q Modus Ponens P→Q ∴Q ¬Q (¬Q∧(P→Q)) → ¬P Modus Tollens P→Q ∴ ¬P P→Q ((P→Q)∧(Q→R)) → Tam đoạn luận trả Q→R định (P→R) ∴P → R P∨Q (P∨Q) → Q Tam đoạn luận tuyển ∴Q trong các phân số của qui tắc thì những giả thiết được viết bên trên tử số, kết luậnđược viết dưới chủng loại số. Kí hiệu ∴ tức là "vậy thì", "do đó",... Ví dụ : Qui tắc suy luận như thế nào là các đại lý của suy diễn sau : • " Nếu hôm nay trời mưa thì cô ta không đến, trường hợp cô ta không đến thì mai sau cô ta đến, Vậy thì, nếu hôm nay trời mưa thì sau này cô ta đến." Đây là suy diễn dựa vào qui tắc tam đoạn luận giả định. • "Nếu lúc này tuyết rơi thì trường đh đóng cửa. Bây giờ trường đh không đóng góp cửa. Vì chưng đó, từ bây giờ đã không tồn tại tuyết rơi " Đây là suy diễn dựa trên qui tắc Modus Tollens • " Alice tốt toán. Vì đó, Alice xuất sắc toán hoặc tin" Đây là suy diễn dựa trên qui tắc cộng. Ngụy biện Trang 30Chương 2: suy luận toán học & Các phương thức chứng minh Các phương thức chứng minh sai còn gọi là ngụy biện. Ngụy biện y như qui tắc suy luận tuy vậy không dựa trên một hằng đúng cơ mà chỉ là 1 trong những tiếp liên. Đây chính là sự khác biệt cơ bạn dạng giữa suy luận đúng cùng suy luận sai. Nhiều loại suy luận không nên này được gọi là ngộ dấn kết luận. Lấy ví dụ như : Xét xem suy diễn sau là tất cả cơ sở đúng không ? " nếu như bạn đã giải hết bài bác tập trong sách toán rời rộc rạc 2 này thì bạn nắm vững logic. Bạn nắm rõ logic vậy thì các bạn đã giải hết bài tập vào sách toán rời rốc 2 này". Nhận ra suy diễn này là dựa trên mệnh đề sau : ((P→Q) ∧ Q) → p Trong đó: phường = "Bạn sẽ giải hết bài bác tập vào sách toán rời rộc rạc 2" Q = "Bạn nắm vững logic" Mệnh đề ((P→Q) ∧ Q) → P chưa hẳn là hằng đúng vày nó vẫn sai khi phường là F với Q là T. Bởi đó, diễn dịch này không trọn vẹn có cửa hàng đúng. Do vì, khi Q là T nghĩa là bạn đã nắm vững logic dẫu vậy không chắc là bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rộc 2 này mà hoàn toàn có thể giải sách không giống (P là F). 2.3. Các phương thức chứng minh Như đã reviews trong phần trên, mỗi việc cần chứng tỏ thông thườngđều tất cả hai phần chính là giả thiết với kết luận. Việc chỉ ra được loại nào là trả thiết, cáinào là kết luận để giúp đỡ cho việc minh chứng dễ dàng hơn trải qua việc sử dụngphương pháp chứng minh thích hợp. Vày đó, các phương pháp chứng minh trong dạngbài toán này là có liên quan đến mệnh đề kéo theo. Vậy, trước khi mày mò các cách thức chứng minh, bọn họ hãy xem lạibảng chân trị của mệnh đề phường kéo theo Q ( với phường là trả thiết cùng Q là kết luận). Cáctrường hợp để cho mệnh đề p. Kéo theo Q là đúng cũng đó là các cách thức đểchứng minh bài toán đúng. P. Q p→q Trang 31Chương 2: suy luận toán học và Các cách thức chứng minh T T T T F F F T T F F T phân biệt rằng, P→Q là đúng bao gồm 3 ngôi trường hợp. Các trường vừa lòng này chủ yếu làcác phương pháp chứng minh sẽ được trình diễn dưới đây. Trước khi đi vào các cách thức chứng minh, có một tư tưởng mà chúng tacần tìm kiếm hiểu, chính là khái niệm về "hàm mệnh đề". Hàm mệnh đề : cho A là một trong tập họp không rỗng làm thế nào để cho ứng với mỗi x∈A ta có một mệnhđề, ký kết hiệu là P(x). Bấy tiếng ta nói p. (hay P(x)) là 1 trong hàm mệnh đề theo vươn lên là x∈A.Như vậy, khi nói ứng với mỗi x∈A, ta gồm một mệnh đề P(x), nghĩa là lúc đó tính đúngsai của P(x) được trọn vẹn xác định phụ thuộc vào từng cực hiếm của x∈A. Ví dụ : cho hàm mệnh đề P(x) = x là số lẻ ; x∈N Ta tất cả : P(1) là mệnh đề đúng P(2) là mệnh đề sai. Tổng quát, với những tập họp không rỗng A1, A2, ..., An, làm sao để cho ứng với mỗix1∈A1, x2∈A2, ..., xn∈An, ta tất cả một mệnh đề, ký kết hiệu P(x1, x2, ...,xn ). Ta nói P(x1,x2, ...,xn ) là một trong hàm mệnh đề theo n biến hóa x. Lấy một ví dụ : mang đến hàm mệnh đề P(x,y,z) = 2x + y - z = 0 x,y,z∈Z Ta tất cả : P(x,y,z) là mệnh đề đúng khi x = 1, y = -1, z = 1. P(x,y,z) là mệnh đề sai lúc x = 1, y = 1, z = 1. 2.3.1. Minh chứng rỗng ( phường là sai) nhờ vào 2 loại cuối của bảng chân trị, nhận thấy rằng khi phường sai, bấtchấp kết luận Q nuốm nào thì mệnh đề P→Q là luôn đúng. Vậy, để chứng tỏ mệnh đề Trang 32Chương 2: suy luận toán học và Các phương thức chứng minhP→Q là đúng, fan ta chỉ việc chứng minh rằng phường là sai. Cách thức chứng minhnày được hotline là minh chứng rỗng. Phương pháp chứng minh rỗng hay được áp dụng để minh chứng các trườnghợp đặc biệt quan trọng của định lý. Ngôi trường hợp bao quát thì định lý này luôn đúng với tất cả số nnguyên dương. Lấy ví dụ : mang lại hàm mệnh đề P(n) = " giả dụ n>1 thì n2 >n " minh chứng rằng P(1) là đúng. Giải : Ta có P(1) = nếu 1 >1 thì 12 >1 phân biệt rằng mang thiết 1>1 là sai, bỏ mặc kết luận 12 >1 là đúng haysai thì P(1) là đúng. 2.3.2. Minh chứng tầm thường (Q là đúng) phụ thuộc vào dòng 1 và cái 3 của bảng chân trị, phân biệt rằng lúc Q đúng,bất chấp mang thiết p. Là đúng hay sai thì mệnh đề P→Q là luôn đúng. Vậy, để chứngminh mệnh đề P→Q là đúng, fan ta chỉ cần chứng minh rằng Q là đúng. Phươngpháp minh chứng này được điện thoại tư vấn là chứng tỏ tầm thường. Phương pháp chứng minh tầm thường cũng khá được sử dụng để minh chứng cáctrường hợp đặc trưng của định lý. Trường hợp tổng thể thì định lý này luôn đúng vớimọi số n nguyên dương. Lấy ví dụ : cho hàm mệnh đề P(n) = giả dụ a với b là 2 số nguyên dương cùng a ≥ b thì an ≥ bn chứng tỏ rằng P(0) là đúng. Giải : Ta gồm a0 = b0 =1. Cho nên a0 ≥ b0 là đúng. Vậy P(0) là đúng bất chấp giả thiết a≥b là đúng tốt sai. 2.3.3. Chứng tỏ trực tiếp Trong cái 1 của bảng chân trị, mệnh đề p kéo theo Q rất có thể được bệnh minhbằng cách chỉ ra rằng nếu phường đúng thì Q cũng đề xuất đúng. Nghĩa là tổ hợp p. đúng Q saikhông bao giờ xảy ra. Cách thức này được hotline là chứng tỏ trực tiếp. Vậy nhằm thực hiện phương thức chứng minh trực tiếp, fan ta đưa sử rằng phường làđúng, sau đó sử dụng những qui tắc suy đoán hay những định lý để chỉ ra rằng Q là đúng vàkết luận P→Q là đúng. Trang 33Chương 2: suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh ví dụ 1: chứng minh rằng ví như n là số lẻ thì n2 là số lẻ Giải : trả sử rằng giả thiết của định lý này là đúng, tức là n là số lẻ. Ta có n = 2k + 1 ( k=0,1,2,...) ⇒ n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k + 2k) + 1 là lẻ. Vậy nếu n là số lẻ thì n2 là số lẻ. Lấy ví dụ 2 : mang đến hàm mệnh đề P(n) = " nếu n>1 thì n2 >n " minh chứng rằng P(n) là đúng với n là số nguyên dương. Giải : mang sử n > 1 là đúng, ta tất cả : n=1+k ( k ≥ 1) ⇒ n2 = ( 1 + k )2 = 1 + 2k + k2 = (1 + k) + k + k2 > n Vậy nếu như n>1 thì n2 >n . 2.3.4. Minh chứng gián tiếp bởi vì mệnh đề P→Q ⇔ ¬Q → ¬P. Vì đó, để chứng tỏ mệnh đề P→Qlà đúng, bạn ta hoàn toàn có thể chỉ ra rằng mệnh đề ¬Q → ¬P là đúng. Lấy ví dụ : chứng tỏ định lý giả dụ 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ Giải : giả sử ngược lại tóm lại của phép kéo theo là sai, tức n là chẳn. Ta bao gồm n = 2k ( k∈N ) ⇒ 3n + 2 = 3.2k + 2 = 2( 3k + 1 ) là số chẳn Vậy giả dụ 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ nhận xét • tất cả những bài toán rất có thể sử dụng phương thức chứng minh trực tiếp hay con gián tiếp đầy đủ được cả. Tuy nhiên, bao gồm những việc không thể sử dụng phương thức chứng minh trực tiếp được hoặc áp dụng trực tiếp thì bài xích giải vẫn dài dòng phức tạp hơn là sử dụng minh chứng gián tiếp ( hoặc ngược lại). Đây đó là sự khác hoàn toàn của minh chứng trực tiếp và chứng minh gián tiếp. Lấy ví dụ như 1 : Sử dụng chứng tỏ gián tiếp để minh chứng rằng " ví như n>1 thì n2 >n " Giải : trả sử ngược lại tóm lại của phép kéo theo là sai, có nghĩa là n2 Chương 2: tư duy toán học & Các phương thức chứng minh do n là nguyên dương đề nghị ta có thể chia 2 vế đến n mà lại bất đẳng thứckhông thay đổi chiều. Ta gồm : n 1 thì n2 >n. Ví dụ như 2 : Sử dụng chứng tỏ trực tiếp để chứng minh rằng " trường hợp 3n + 2 là sốlẻ thì n là số lẻ ". Giải : đưa sử 3n + 2 là số lẻ là đúng. Nhận thấy rằng vị 2 là số chẳn nên suy ra được 3n là số lẻ. Bởi vì 3 là số lẻ cho nên n là số lẻ. Vậy nếu như 3n + 2 là số lẻ thì n là số lẻ. Ở đây họ phải chứng tỏ thêm định lý là tích của 2 số lẻ là một trong những lẻ thì bàigiải chặt chẽ hơn. Bởi đó, trong vấn đề này việc sử dụng chứng minh gián tiếp là hayhơn cần sử dụng trực tiếp. • Để chứng minh mệnh đề bao gồm dạng : (P1∨P2∨...∨Pn) → Q bạn có thể sử dụng hằng đúng sau : ((P1∨P2∨...∨Pn) →Q) ↔ ((P1→Q)∧(P2→Q)∧....∧(Pn→Q)) Cách chứng minh này hotline là chứng tỏ từng ngôi trường hợp. Lấy ví dụ như 3: chứng tỏ rằng: " nếu n không phân chia hết cho 3 thì n2 không phân tách hết đến 3". Giải : Gọi phường là mệnh đề "n không chia hết đến 3" với Q là mệnh đề "n2 không phân chia hết mang lại 3". Lúc đó, p. Tương đương với P1 ∨ P2. Vào đó: P1 = " n thủ thuật 3 =1" P2 = " n gian lận 3 =2" Vậy, để chứng minh P → Q là đúng, có thể chứng tỏ rằng: (P1 ∨ P2) → Q hay là (P1 → Q ) ∧ ( P2→ Q) mang sử P1 là đúng. Ta có, n hack 3 = 1. Đặt n = 3k + 1 ( k là số nguyên làm sao đó). Suy ra n2 = ( 3k+1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 không phân chia chẳn cho 3. Bởi đó, P1 → Q là đúng. Trang 35Chương 2: suy luận toán học và Các phương pháp chứng minh Tương tự, đưa sử P2 là đúng. Ta có, n hack 3 = 2. Đặt n = 3k + 2 ( k là số nguyên như thế nào đó). Suy ra n2 = ( 3k+2)2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1 không phân chia chẳn mang đến 3. Do đó, P2 → Q là đúng. Bởi vì P1 → Q là đúng với P2 → Q là đúng, hay là (P1 → Q ) ∧ ( P2→ Q). Vậy (P1 ∨ P2) → Q. 2.3.5. Chứng minh phản chứng chứng minh phản hội chứng thường được sử dụng để minh chứng mệnh đề p. Làđúng. Trước hết, fan ta đưa sử ngược lại rằng p là sai giỏi ¬P là đúng. Từ bỏ mệnh đề¬P là đúng dẫn đến tóm lại Q làm thế nào cho ¬P→Q đề nghị đúng. Khi đó, tín đồ ta chỉ ra rằng rằngQ là 1 trong mâu thuẩn, tức thị : Q = R ∧¬R. (Sở dĩ có mâu thuẩn này là vì ta mang sử p là sai) bởi vì ¬P→Q yêu cầu đúng cùng Q là F, suy ra rằng ¬P = F ⇒ p = T. Phương thức chứng minh phản hội chứng thường được thực hiện để hội chứng minhnhững sự việc cơ phiên bản và điều đặc biệt trong nghệ thuật này là đưa ra được mâu thuẩnR∧¬R. Ví dụ 1: minh chứng rằng " 2 là số vô tỉ ". Giải : Gọi p. Là mệnh đề " 2 là số vô tỉ ". Trả sử ngược lại ¬P là đúng. Vậy, 2 là số hữu tỉ ( vị tập số thực bao gồm 2 tập bé là tập số vô tỉ với tập số hữu tỉ. Nhì tậpcon này không có 3 giao nhau). Lúc đó ∃a,b (a,b∈N) sao cho: a 2 = ( cùng với a, b không có ước bình thường hay phân số này là tối giản (mệnh bđề R)) a2 Bình phương nhì vế : 2 = ⇒ 2b2 = a2 ⇒ a2 là số chẳn ⇒ a là số b2chẳn. Đặt a = 2c, c ∈ N. Ta tất cả 2b2 = 4c2 ⇔ b2 = 2c2 ⇒ b2 là số chẳn ⇒ b là số chẳn. Vậy a, b đều sở hữu ước chung là 2 (mệnh đề ¬R). Trang 36Chương 2: suy luận toán học và Các phương pháp chứng minh Điều này mâu thuẩn do a/b là tối giản. Từ bỏ ¬P→ R∧¬R. Sở dĩ có mâu thuẩn này là vì ta mang sử 2 là số hữu tỉ. Vậy 2 buộc phải là số vôtỉ.Ví dụ 2 : một trong những cách giải việc tồn trên là cần sử dụng lập luận phản bội chứng. Mang lại 7 đoạn thẳng tất cả độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Chứng tỏ rằng luôntìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác. Giải : Trước hết sắp tới xếp các đoạn đã mang đến theo thứ tự tăng ngày một nhiều của độ lâu năm a1, a2,..., a7, và chứng tỏ rằng trong dãy đang xếp luôn kiếm được 3 đoạn liên tục sao chotổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối (vì đk để 3 đoạn rất có thể ghép thành mộttam giác là tổng của 2 đoạn nhỏ tuổi hơn đoạn đồ vật ba). đưa sử điều cần minh chứng là không xảy ra, nghĩa là đồng thời xảy ra các bấtđẳng thức sau: a1 + a2 ≤ a3 a2 + a3 ≤ a4 a3 + a4 ≤ a5 a4 + a5 ≤ a6 a5 + a6 ≤ a7 Từ mang thiết a1 , a2 có mức giá trị to hơn 10, ta nhận ra a3 > 20 . Tự a2 >10 vàa3 > 20ta nhận ra a4 > 30 , a5 > 50, a6 > 80 và a7 > 130. Điều a7 > 130 là mâu thuẩn vớigiả thiết các độ dài nhỏ hơn 100. Bao gồm mâu thuẩn này là vì giả sử điểu bắt buộc chứng minhkhông xảy ra. Vậy, luôn tồn tại 3 đoạn liên tiếp sao để cho tổng của 2 đoạn đầu to hơn đoạncuối. Hay có thể nói rằng là 3 đoạn này hoàn toàn có thể ghép thành một tam giác. 2.3.6. Minh chứng qui nạp giả sử đề xuất tính tổng n số nguyên lẻ đầu tiên. Cùng với n = 1,2,3,4,5 ta có : n = 1: 1 = 1 = 12 n = 2: 1 + 3 = 4 = 22 n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 32 n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 Trang 37Chương 2: suy luận toán học & Các cách thức chứng minh n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 từ bỏ các kết quả này ta dự kiến tổng n số nguyên lẻ đầu tiên là n2. Tuynhiên, chúng ta cần có phương pháp chứng minh dự đoán trên là đúng. Qui hấp thụ toán học là một trong những kỹ thuật minh chứng rất quan trọng. Tín đồ ta dùng nóđể chứng tỏ những hiệu quả đã có dựa trên sự suy luận nào kia như lấy một ví dụ trên. Tuynhiên, qui nạp toán học chỉ cần sử dụng để chứng tỏ các kết quả nhận được bởi một cáchnào đó chứ không cần là quy định để phát chỉ ra công thức. • Nguyên lý minh chứng qui nạp yếu các định lý tuyên bố rằng P(n) là đúng ∀n nguyên dương, trong các số đó P(n) làhàm mệnh đề, ký hiệu ∀nP(n). Qui hấp thụ toán học là một kỹ thuật minh chứng các địnhlý trực thuộc dạng trên. Nói theo cách khác qui hấp thụ toán học tập thường sử dụng để chứng tỏ cácmệnh đề dạng ∀nP(n). Nguyên lý chứng tỏ qui hấp thụ yếu bao hàm 2 cách : - chất vấn P(x0) là đúng với x0 là giá chỉ trị thứ nhất của hàng số n - trả sử rằng P(k) là đúng khi n=k. Từ kia suy ra rằng P(k+1) là đúng. Ta bao gồm cách viết của suy đoán trên như sau: → ∀nP(n) ví dụ 1: chứng minh rằng n n(n + 1) ∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n = i =1 2 ⎧ n n(n + 1) ⎫ Giải : Đặt P(n) = ⎨∑ i = ⎬ ⎩ i =1 2 ⎭ 1(1 + 1) - với n= 1 : 1 = P(1) là đúng 2 k k (k + 1) - mang sử P(k) là đúng vào lúc n=k.

Xem thêm: 100 Bài Tập Ôn Tập Toán Lớp 6, ️ Tuyển Tập 63 Đề Thi Học Kì 1 Môn Toán Lớp 6

Ta gồm : ∑i = i =1 2 Cần minh chứng rằng P(k+1) là đúng. Tức thị k +1 (k + 1)(k + 2) ∑i = i =1 2 (điều yêu cầu chứng minh) Trang 38