Các dạng toán phương trình lượng giác, cách thức giải và bài bác tập trường đoản cú cơ bạn dạng đến nâng cấp - toán lớp 11

Sau khi làm cho quen với các hàm lượng giác thì những dạng bài bác tập về phương trình lượng giác đó là nội dung tiếp sau mà những em đang học trong lịch trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản cực hay


Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? bọn họ cùng tò mò qua bài viết này, đồng thời vận dụng các cách thức giải này để làm các bài tập từ bỏ cơ bản đến cải thiện về phương trình lượng giác.

I. định hướng về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có những nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó những nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong cung thỏa cosα = a, khi ấy phương trình (2) có những nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại

*

II. Những dạng toán về Phương trình lượng giác và phương thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm tương ứng với từng phương trình.

* lấy một ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* lấy một ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một vài phương trình lượng giác chuyển được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ phiên bản như Dạng 1.

* ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu giữ ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* ví dụ như 2: Giải những phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* giữ ý: bài bác toán áp dụng công thức đổi khác tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy một ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* lưu ý: Bài toán bên trên có vận dụng công thức đổi khác tổng các kết quả và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình số 1 có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* lấy ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta tất cả phương trình at2 + bt + c = 0.

* lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải gồm điều kiện: -1≤t≤1

* lấy ví dụ như 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ cùng với t = 1: sinx = 1 

*

+ cùng với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 nên loại

+ 

*
*
 
*

* Chú ý: Đối cùng với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương thức giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình do a≠0,

 Chia 2 vế mang lại cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta nắm d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ phương pháp 1: Chia nhì vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ bí quyết 2: Sử dụng cách làm sinx với cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu giữ ý: bài bác toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx cùng cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Fyi, Inc, Jsc, Co Ltd Là Gì ? Phân Biệt Ltd Với Jsc Và Plc Các Từ Viết Tắt Jsc, Plc, Inc Và Co

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu giữ ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- vì thế sau khi tìm được nghiệm của PT (*) phải kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa phải là PT dạng đối xứng nhưng lại cũng rất có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

- Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ cùng với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Với phần đông giá trị nào của x thì giá bán trị của các hàm số y = sin 3x với y = sin x bằng nhau?

° lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT tất cả nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT tất cả nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải thuật bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến trên đây ta cần so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT tất cả họ nghiệm là 

*

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT gồm tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° giải mã bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0