Bạn đang xem: Phương tích
Giả sử cùng bề mặt phẳng chúng ta có một điểm $P$ cùng một đường tròn $(O)$. Kẻ một đường thẳng qua điểm $P$ giảm đường tròn tại hai điểm $U$ cùng $V$. Vậy thì cực hiếm của $$PU imes PV$$ đã không dựa vào vào vị trí của mặt đường thẳng.
Điều này có nghĩa là nếu bọn họ vẽ một mặt đường thẳng không giống qua $P$ và cắt đường tròn tại hai điểm $A$ với $B$ thì $$PA imes PB = PU imes PV.$$ cực hiếm không thay đổi này được điện thoại tư vấn là phương tích của điểm $P$ đối với đường tròn $(O)$.Để minh chứng $PU imes PV$ không phụ thuộc vào vào vị trí của đường thẳng, họ sẽ sử dụng tam giác đồng dạng. Họ chia ra nhì trường hợp: trường hợp điểm $P$ nằm bên phía ngoài đường tròn với trường đúng theo điểm $P$ nằm bên trong đường tròn.Trường thích hợp điểm $P$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$
Chúng ta chú ý hai tam giác $PUB$ và $PAV$. Nhị tam giác này đồng dạng vì có hai cặp góc bởi nhau. Cho nên $$fracPUPA = fracPBPV.$$Từ đó bọn họ rút ra được điều cần chứng tỏ là $$PA imes PB = PU imes PV.$$Trường thích hợp điểm $P$ nằm phía bên trong đường tròn $(O)$
Trường phù hợp điểm $P$ nằm bên phía trong đường tròn cũng vậy. Họ xem xét nhì tam giác $PUB$ cùng $PAV$. Nhị tam giác này đồng dạng vị có các cặp góc bởi nhau. Suy ra $$fracPUPA = fracPBPV.$$Từ đó họ có cực hiếm của phương tích là không biến hóa $$PA imes PB = PU imes PV.$$Tính phương pháp phương tích theo khoảng cách $PO$ và bán kính $r$Bây giờ chúng ta sẽ tính công thức phương tích theo khoảng cách $PO$ với bán kính $r$ của mặt đường tròn $(O)$. Bọn họ cũng chia ra hai trường vừa lòng như trên: trường hòa hợp điểm $P$ nằm bên phía ngoài đường tròn cùng trường hợp điểm $P$ nằm bên phía trong đường tròn.Chúng ta sẽ chứng minh rằng:Nếu $P$ nằm bên phía ngoài đường tròn thì $$PU imes PV = PO^2 - r^2.$$Nếu $P$ nằm bên trong đường tròn thì $$PU imes PV = r^2 - PO^2.$$Thật vậy, nếu chúng ta lấy $U$ cùng $V$ là nhị giao điểm của mặt đường thẳng $PO$ với con đường tròn $(O)$ thì phương tích của $P$ sẽ tiến hành tính như sau:Trường hòa hợp $P$ nằm bên ngoài đường tròn $$PU imes PV = (PO - r)(PO + r) = PO^2 - r^2.$$
Tóm lại công thức phương tích của $P$ rất có thể biểu diễn theo khoảng cách $PO$ và bán kính $r$ như sau $$PU imes PV = pm (PO^2 - r^2).$$Dấu cọng tuyệt trừ trong cách làm trên nhờ vào vào địa điểm của $P$ nằm bên ngoài hay phía bên trong đường tròn.(Trường hợp quan trọng đặc biệt khi điểm $P$ nằm trê tuyến phố tròn thì phương tích rõ ràng là bằng $0$.)Định nghĩa "chính xác" của phương tíchThật ra phần đông gì chúng ta đã nói trên về phương tích là chưa hoàn toàn chính xác. Định nghĩa ở trên là dành riêng cho các bạn học cung cấp 2 chưa học về khoảng cách có dấu, cho nên vì thế phương tích $PU imes PV$ bao giờ cũng là số dương.Còn khái niệm "chính xác" của phương tích là như sau $$vecPU imes vecPV = PO^2 - r^2.$$Phương tích "có dấu" rất có thể là số dương nhưng mà cũng rất có thể là số âm, nó nhờ vào vào $vecPU$ với $vecPV$ tất cả cùng chiều giỏi ngược chiều nhau.
 |
| Khi $P$ ở bên phía ngoài đường tròn thì phương tích là số dương do $vecPU$ cùng $vecPV$ cùng chiều.Còn khi $P$ ở phía bên trong đường tròn thì phương tích là số âm vì $vecPU$ cùng $vecPV$ ngược chiều. |
Chúng ta biết rằng công thức của mặt đường tròn trọng tâm $O$ bán kính $r$ là $$(x - O_x)^2 + (y - O_y)^2 - r^2 = 0.$$Công thức phương tích đó là $$vecPU imes vecPV = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2.$$Nhờ cách làm phương tích $$(P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2$$ họ càng thấy rõ hơn vì sao quý hiếm của phương tích là số dương, là bởi 0, là số âm, dựa vào vào địa điểm của điểm $P$ nằm cạnh ngoài, mặt trên, và phía bên trong đường tròn.Hôm nay, chúng ta đã học tập sơ qua về tư tưởng phương tích. Kỳ sau, bọn họ sẽ học tiếp về một vài đặc điểm của phương tích.
 |
| Phương tích: $vecPU imes vecPV = PO^2 - r^2 = (P_x - O_x)^2 + (P_y - O_y)^2 - r^2$. |
Bài tập về nhà.1. đưa sử điểm$P$ nằm ở vị trí phíabên ngoàicủa con đường tròn $(O)$. Vẽ đường tiếp con đường $PT$ đến đường tròn. Thực hiện định lý Pitago nhằm tính $$PU imes PV = PT^2 = PO^2 - r^2.$$
2.Giả sử điểm$P$ nằm tại vị trí phíabên trongcủa mặt đường tròn $(O)$.Vẽđường trực tiếp $UV$ vuông góc với $PO$. Sử dụng định lý Pitago để tính $$PU imes PV = PU^2 = r^2 - PO^2.$$
3. Cho hai tuyến đường tròn $(O_1)$ với $(O_2)$ giảm nhau tại nhì điểm $I$ với $J$. Chứng tỏ rằng phần lớn điểm $P$ nằm trên tuyến đường thẳng $IJ$ tất cả phương tích đến hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ là bằng nhau.
Xem thêm: Nguyên Hàm Từng Phần: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Cực Hay
4. Cho hai tuyến đường tròn $(O_1)$ cùng $(O_2)$. Tra cứu quỹ tích toàn bộ các điểm $P$ làm thế nào để cho phương tích của $P$ đến hai đường tròn $(O_1)$ cùng $(O_2)$ là bởi nhau.5. Cho cha đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ cùng $(O_3)$. Xác minh điểm $P$ làm thế nào cho phương tích của $P$ đến ba đường tròn là bằng nhau.
Labels:cấp 2,cấp 3,đường tròn,hình học,hình học tập giải tích,phương tích,tam giác đồng dạng,toạ độ,trục đẳng phương
Bài đăng new hơnBài đăng Cũ hơnTrang chủ
Ủng hộ vườn cửa Toán bên trên facebook
Lưu trữ Blog
► 2017(1) ► 2016(7) ► 2015(12) ► 2014(12) ▼ 2013(26) ▼ mon bảy(2) ► 2012(36) ► 2011(7)
Bài toán liên kết facebook
Phép nhân thời thiết bị đá
Mắt Biếc hồ Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci với một câu hỏi xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số thiết yếu phương kỳ diệu của Vianney!
Câu iq về đo lường
Công thức lượng giác Gauss đến 17-giác đều
Chào năm mới tết đến 2014
Chào năm mới tết đến 2015
Chào năm mới tết đến 2016
Không gian 4d là gì?
Dựng hình đa giác đều
Dựng nhiều giác những 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... Có bằng 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua với kim từ tháp
Dãy số - Phần 1
Dãy số - Phần 2Dãy số - Phần 3Dãy số - Phần 4Dãy số - Phần 5Dãy số - Phần 6Dãy số - Phần 7Dãy số - Phần 8Dãy số - Phần 9
Tam giác Pascal
Quy nạpQuy hấp thụ IIQuy hấp thụ IIINhị thức Newton1 = 2012 = 2013Đa thức nội suy NewtonĐa thức nội suy LagrangeChứng minh Định lý Wilson bởi công thức nội suyTổng luỹ thừa
Số phức
Số phức
công thức Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác cho góc bội
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài vấn đề về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo cho số hữu tỷ
Modulo mang đến số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme
Câu đố vui về đo lường
Dựng đa giác đầy đủ 15 cạnh
Bò đi nhỏ bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số kỳ diệu của Euler
Bài toán kết nối facebook
Dãy số Fibonacci cùng một việc xếp hìnhHằng đẳng thức về dãy số FibonacciDãy số Fibonacci cùng tam giác Pascal
Định lý Pitago
Định lý con đường cao tam giác vuôngĐịnh lý MorleyPhương tíchTrục đẳng phương và trung khu đẳng phươngĐịnh lý Ceva cùng Định lý MenelausLục giác kỳ diệuĐịnh lý PascalĐịnh lý PappusCánh bướm PascalBài toán con bướmĐịnh lý ngôi sao sáng Do TháiHãy cẩn thận trường hợp đặc biệtBài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất cùng một tính chất của hình elípĐiểm Fermat của hình tam giácĐiểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình bằng thước và compa
Bài toán phân chia hình tứ giácDựng hình ngũ giác đềuDựng hình đa giác đềuDựng nhiều giác những 15 cạnhĐịnh lý đường cao tam giác vuôngThuật toán dựng hìnhCông thức lượng giác Gauss đến 17-giác phần nhiều Dựng hình chỉ bằng compa cần sử dụng compa chia mọi đoạn thẳng