1. Triết lý phương trình bậc 2 số phức
a) Căn bậc nhì của số phức
Cho số phức w. Từng số phức z thỏa mãn yêu cầu USD z ^ 2 = w USD được gọi là một căn bậc nhị của w
b) Phương trình bậc nhì với hệ số thực
Bạn đã đọc: những dạng bài tập giải phương trình bậc 2 số phức
Cho phương trình bậc nhị USD a x ^ 2 + bx + c = 0 , , left ( a, , b, , c in mathbb R ; , a ne 0 right ) USD. Xét USD Delta = b ^ 2 – 4 ac USD, ta có
∆ = 0 phương trình bao gồm nghiệm thực $x=-fracb2a$.∆ > 0: phương trình gồm hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: $x_1,2=frac-bpm sqrtDelta 2a$.∆Chú ý .
Bạn đang xem: Phương trình bậc 2 với hệ số phức
2. Các dạng bài bác tập giải phương trình số phức
Dạng 1. Phương trình bậc nhì với hệ số phức
Ví dụ: Biết $z_1,z_2$ là nhị nghiệm số phức của phương trình $z^2-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.
Lời giảiTa gồm USD Delta = b ^ 2 – 4 ac = – 12 USDCăn bậc nhì của ∆ là USD pm i sqrt 12 USDSuy ra phương trình có hai nghiệm riêng biệt là USD z _ 1 = frac 2 + i sqrt 12 2 USD với USD z _ 1 = frac 2 – i sqrt 12 2 USD
Dạng 2: Tìm những thuộc tính của số phức thỏa mãn nhu cầu điều kiện K
Ví dụ: Tìm những số thực x, y vừa lòng điều kiện
a ) ( 2 − i ) x + ( 2 + y ) i = 2 + 2 ib ) USD frac x – 2 1 + i + frac y – 3 1 – i = i USDLời giải
Dạng 3. Tính cực hiếm của biểu thức
Phương pháp giảiChuẩn hóa số phức, phụ thuộc điều kiện kèm theo đã cho để kiếm tìm số phức z
Ví dụ: mang đến số phức $z_1 e 0,$ $z_2 e 0$ vừa lòng $left| z_1 ight|=left| z_2 ight|=left| z_1-z_2 ight|.$ Tính quý hiếm của biểu thức $P=left( fracz_1z_2 ight)^4+left( fracz_2z_1 ight)^4$
Lời giảiChuẩn hóa $ z _ 1 = 1, USD để USD z _ 2 = a + bi, left ( a, b in R right ), USD lúc ấy USD left | z _ 2 right | = sqrt a ^ 2 + b ^ 2 USD
Dạng 4. Bài xích toán áp dụng bất đẳng thức trong các phức
Phương pháp giải
Các bất đẳng thức cổ xưa
Ví dụ 1: đến số phức z vừa lòng |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của p = |z|
Lời giải
Ví dụ 2: cho số phức z thỏa mãn điều khiếu nại |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của |z|
Lời giải
Dạng 5. Thực hiện bình phương vô hướng
Phương pháp giải
Ví dụ . mang lại hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 cùng |3z1 – z2| = 3. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức p = |z1| + |z2|
Lời giải
Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao
Phương pháp giải
Ví dụ: cho những số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|.
Lời giải
3. Bài tập phương trình số phức
Câu 1. Vào $mathbbC$, phương trình $2x^2+x+1=0$ gồm nghiệm là:
A. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( – 1 – sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( – 1 + sqrt 7 i right ) USDB. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( 1 + sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( 1 – sqrt 7 i right ) USDC. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( – 1 + sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( 1 – sqrt 7 i right ) USDD. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( 1 + sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( – 1 – sqrt 7 i right ) USDLời giảiTa có : USD Delta = b ^ 2 – 4 ac = 1 ^ 2 – 4.2.1 = – 7 = 7 i ^ 2 Câu 2. Vào $mathbbC$, phương trình $left| z ight|+z=2+4i$ có nghiệm là:
A. USD z = – 3 + 4 i USDB. USD z = – 2 + 4 i USDC. USD z = – 4 + 4 i USDD. USD z = – 5 + 4 i USDLời giảiĐặt USD z = a + bi , left ( a, b in mathbb R right ) Rightarrow left | z right | = sqrt a ^ 2 + b ^ 2 USD .Thay vào phương trình : USD sqrt a ^ 2 + b ^ 2 + a + bi = 2 + 4 i USDSuy ra USD left { begin gathered sqrt a ^ 2 + b ^ 2 + a = 2 hfill b = 4 hfill over gathered right. Leftrightarrow left { begin gathered a = – 3 hfill b = 4 hfill over gathered right. USDTa chọn đáp án A .
Câu 3. Hai quý giá $x_1=a+bi,;,x_2=a-bi$ là nhị nghiệm của phương trình:
A. USD x ^ 2 + 2 ax + a ^ 2 + b ^ 2 = 0 USDB. USD x ^ 2 + 2 ax + a ^ 2 – b ^ 2 = 0 USDC. USD x ^ 2 – 2 ax + a ^ 2 + b ^ 2 = 0 USD
D. $x^2-2ax+a^2-b^2=0$
Lời giảiÁp dụng định lý hòn đảo Viet : USD left { begin gathered S = x_1 + x_2 = 2 a hfill phường = x_1 . x_2 = a ^ 2 + b ^ 2 hfill over gathered right. USDDo kia USD x _ 1 , x _ 2 USD là nhị nghiệm của phương trình : USD x ^ 2 – Sx + p = 0 Leftrightarrow x ^ 2 – 2 ax + a ^ 2 + b ^ 2 = 0 USDTa chọn đáp án A .
Câu 4. Trong $mathbbC$, nghiệm của phương trình $z^2+sqrt5=0$ là:
A. USD left < begin gathered z = sqrt 5 hfill z = – sqrt 5 hfill end gathered right. USDB. USD left < begin gathered z = sqrt < 4 > 5 i hfill z = – sqrt < 4 > 5 i hfill end gathered right. USDC. USD sqrt 5 i USDD. USD – sqrt 5 i USDLời giảiUSD z ^ 2 + sqrt 5 = 0 Leftrightarrow z ^ 2 = – sqrt 5 Leftrightarrow z = pm i sqrt < 4 > 5 USDTa chọn giải đáp A .
Câu 5. Vào $mathbbC$, phương trình $z^4-6z^2+25=0$ gồm nghiệm là:
A. USD pm 8 với , ; , pm 5 i USDB. USD pm 3 , ; , pm 4 i USDC. USD pm 5 và , ; , pm 2 i USDD. USD pm left ( 2 + i right ) với , ; , pm left ( 2 – i right ) USDLời giảiUSD begin gathered z ^ 4 – 6 z ^ 2 + 25 = 0 hfill Leftrightarrow left ( z ^ 2 – 3 right ) ^ 2 + 16 = 0 hfill Leftrightarrow z ^ 2 – 3 = pm 4 i hfill Leftrightarrow z ^ 2 = 3 pm 4 i hfill Leftrightarrow left < begin gathered z = pm left ( 2 + i right ) hfill z = pm left ( 2 – i right ) hfill over gathered right. hfill over gathered USDTa chọn câu trả lời A .
Câu 6. Bao gồm bao nhiêu số phức vừa lòng điều khiếu nại $z^2=|z^2+overlinez$?
A. 3B. 0C. 1D. 2Lời giảiGọi USD z = a + bi , left ( a, b in mathbb R right ) USD là số phức thỏa mãn nhu yếu điều kiện dĩ nhiên trên. Ta tất cả :USD begin gathered z ^ 2 = | z ^ 2 + overline z Leftrightarrow left ( a + bi right ) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + a – bi hfill Leftrightarrow a + 2 b ^ 2 – bi – 2 abi = 0 hfill Leftrightarrow left ( a + 2 b ^ 2 right ) + left ( – b – 2 ab right ) i = 0 hfill Leftrightarrow left { begin gathered a + 2 b ^ 2 = 0 hfill b + 2 ab = 0 hfill kết thúc gathered right. Leftrightarrow left { begin gathered a + 2 b ^ 2 = 0 hfill left < begin gathered b = 0 hfill a = – frac 1 2 hfill end gathered right. hfill over gathered right. hfill Leftrightarrow left < begin gathered a = b = 0 hfill left { begin gathered a = – frac 1 2 hfill b = pm frac 1 2 hfill kết thúc gathered right. hfill kết thúc gathered right. hfill over gathered USDVậy tất cả 3 số phức thỏa mãn nhu cầu nhu yếu việc .Ta chọn giải đáp A .
Câu 7. Phương trình $left( 2+i ight)z^2+az+b=0,left( a,bin mathbbC ight)$ tất cả hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Lúc ấy $a=?$
A. – 9-2 iB. 15 + 5 iC. 9 + 2 iD. 15-5 iLời giảiTheo Viet, ta bao gồm :USD S = z _ 1 + z _ 2 = – frac a 2 + i = 4 – i Leftrightarrow a = left ( i-4 right ) left ( i + 2 right ) Leftrightarrow a = – 9-2 i USDTa chọn lời giải A .
Câu 8. Trả sử $z_1,z_2$ là nhị nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$ với A, B là các điểm trình diễn của $z_1,z_2$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A. USD I left ( 1 ; 1 right ) USDB. USD I left ( – 1 ; 0 right ) USDC. USD I left ( 0 ; 1 right ) USDD. USD I left ( 1 ; 0 right ) USDLời giảiUSD z ^ 2 – 2 z + 5 = 0 Leftrightarrow left ( z-1 right ) ^ 2 + 4 = 0 Leftrightarrow z = 1 pm 2 i USDUSD Rightarrow A left ( 1 ; 2 right ) ; , B left ( 1 ; – 2 right ) USDDo kia tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là USD I left ( 1 ; 0 right ) USD .Ta chọn giải đáp A .
Xem thêm: Các Biển Số Xe 49, 53 Có Ý Nghĩa Gì? Tại Sao Lại Luôn Bị Chê?
Câu 9. Phương trình $x^4+2x^2-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là:
A. USD 2 pm i sqrt 2 USD hoặc USD – 2 pm 2 i sqrt 2 USDB. USD 2 pm i sqrt 2 USD hoặc USD 1 pm 2 i sqrt 2 USDC. USD 1 pm 2 i sqrt 2 USD hoặc USD – 2 pm 2 i sqrt 2 USDD. USD – 1 pm 2 i sqrt 2 USD hoặc USD – 2 pm 2 i sqrt 2 USDLời giảiUSD begin gathered x ^ 4 + 2 x ^ 2 – 24 x + 72 = 0 hfill Leftrightarrow left ( x ^ 2 – 4 x + 6 right ) left ( x ^ 2 + 4 x + 12 right ) = 0 hfill Leftrightarrow left < begin gathered x ^ 2 – 4 x + 6 = 0 hfill x ^ 2 + 4 x + 12 = 0 hfill over gathered right. hfill Leftrightarrow left < begin gathered left ( x – 2 right ) ^ 2 + 2 = 0 hfill left ( x + 2 right ) ^ 2 + 8 = 0 hfill over gathered right. hfill Leftrightarrow left < begin gathered x = 2 pm sqrt 2 i hfill x = – 2 pm 2 sqrt 2 i hfill end gathered right. hfill over gathered USDTa chọn lời giải A .
Câu 10. Gọi $z_1,z_2$ là các nghiệm phức của phương trình $z^2+sqrt3z+7=0$. Khi đó $A=z_1^4+z_2^4$ có mức giá trị là: