Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài tập khó thường xuất hiện ở trong đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chuyên Toán.

Bạn đang xem: Phương trình bậc cao lớp 9

Muốn giải được các hệ phương trình bậc cao các em học sinh đọc những phương pháp dưới đây.

Phương pháp đưa về hằng đẳng thức

Đây là phương pháp mà chúng ta nên chú ý đầu tiên. Chúng ta cần để ý xem phương trình trong hệ bao gồm thể biến đổi về những hằng đẳng thức đã học giỏi không.

Chúng ta xét các ví dụ dưới đây để hiểu về phương pháp này.

Ví dụ 1: Giải những hệ phương trình sau

a)

*
x+2+2sqrty+2=5endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="43" width="268" style="vertical-align: -17px;">

b)

*

Giải

a) Điều kiện:

*
. Phương trình (1) tương đương:

*

Đặt

*
. Ta có phương trình:
*
⇔
*
. Bởi
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="321" style="vertical-align: -7px;">suy ra phương trình mang đến ta
*

*
núm vào ta có:
*
5-2y+2sqrty+2=5Leftrightarrow" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="203" style="vertical-align: -4px;"> Đặt
*
5-2y;b=sqrty+2" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="191" style="vertical-align: -4px;">ta bao gồm hệ phương trình sau:

*
.

*

Vậy hệ tất cả nghiệm

*

b) Điều kiện: .

Ta viết lại phương trình (1) thành:

*

*

Dễ thấy

*
không phải là nghiệm. Khi
*
thay vào (2) ta được:

*

(thỏa mãn). Vậy hệ bao gồm nghiệm

*
.

Ví dụ 2: Giải những hệ phương trình sau

a)

*

b)

*
14-xsqrt3-2y+1endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="44" width="339" style="vertical-align: -17px;">

Giải

a) Điều kiện:

*
.

Ta thấy

*
không là nghiệm của hệ. Phân chia hai vế của (1) đến
*
ta được:

*
. Đặt
*
ta tất cả phương trình:
*
suy ra
*

*
. Từ đó tính được
*

Vậy hệ đã cho bao gồm nghiệm .

b) Điều kiện:

*
.Ta thấy lúc thì hệ không có nghiệm.

Chia phương trình (1) đến

*
:

*

*

Đặt

*
. Ta có
*
⇒
*
⇔
*
.

Thay vào (2) ta được:

*
15-x=1Leftrightarrow x+1=sqrt<3>15-xLeftrightarrow x^3+3x^2+4x-14=0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="524" style="vertical-align: -3px;">.

⇔

*
. Vậy hệ bao gồm nghiệm
*
.

Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2

Khi trong hệ phương trình gồm chứa phương trình bậc 2 theo ẩn x, hoặc y ta biến đổi x theo y hoặc y theo x dựa vào công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2. Cụ thể như sau:

* Nếu Δ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

* Nếu Δ không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành những hằng đẳng thức

+ cần sử dụng điều kiện Δ ≥ 0 để tìm kiếm miền giá chỉ trị của biến x, y. Sau đó đánh giá bán phương trình còn lại trên miền giá trị x, y vừa tìm được:

Minh họa cách làm này qua những ví dụ dưới đây.

Ví dụ 3: Giải những hệ phương trình sau

a)

*

b)

*

Giải

Xét phương trình (1) của hệ ta có:

*
. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của thì ta có:
*
. Từ đó suy ra

*

Trường hợp 1:

*
. Từ phương trình của hệ ta tất cả điều kiện:
*
suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2:

*
thay vào phương trình thứ nhì ta có:

*

Vậy hệ gồm một cặp nghiệm:

*

b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:

*

Coi đây là phương trình bậc 2 của ta có:

*

Suy ra

*

Trường hợp 1:

*
cố gắng vào phương trình (2) ta thu được:

*

⇔

*
=0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="336" style="vertical-align: -11px;">

Do

*
nên
*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="252" style="vertical-align: -11px;">

⇒

*

Trường hợp 2:

*
thay vào phương trình (2) ta thu được:

*

Giải tương tự như bên trên ta được

*
.

Kết luận: Hệ phương trình tất cả 2 cặp nghiệm:

*

Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá bán ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, những phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá đưa ra quan hệ

*
.

Ngoài ra ta cũng tất cả thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó bao gồm hướng đánh giá, so sánh phù hợp.

Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau

a)

*

b)

*
4xleft( 8x+1 ight)endarray ight." title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="55" width="271" style="vertical-align: -23px;">

Giải

a) Điều kiện:

*
.

Đặt

*
" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="32" width="246" style="vertical-align: -11px;">.

Ta có:

*
.

Ta sử dụng bổ đề với

*
0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="57" style="vertical-align: -4px;">và
*
ta gồm bất đẳng thức:

*
(đúng).

Vậy

*
.

Đẳng thức xảy ra khi

*
. Thế vào(2) ta search được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ

*
.

b) Điều kiện:

*
.

Phương trình (1) tương đương:

*
.

Đặt

*
phương trình (1) thành:

*

Thay vào (2) ta được:

*
32x^2+4x" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="232" style="vertical-align: -2px;">.

Xem thêm: Hong Kong Education In Hong Kong Education System, Hong Kong Education System

Ta có

*
32x^2+4x=sqrt<3>1.1.left( 32x^2+4x ight)le frac32x^2+4x+23" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="25" width="492" style="vertical-align: -6px;">

*

Từ đó ta có những nghiệm của hệ là: Vậy hệ bao gồm nghiệm

*
.

Bài tập giải hệ PT bậc cao

Bài 1: Giải hệ phương trình

*

Bài 2:Giải hệ phương trình

*

Bài 3:Giải hệ phương trình

*

Bài 4:Giải hệ phương trình:

*

Bài 5:Tìm

*
thỏa mãn :
*

Cùng chuyên đề:

Chuyên đề: Tam giác đồng dạng – Toán nâng cấp lớp 9 >>