Phương Trình Mặt Cầu

Điểm H được gọi là tiếp điểm.

Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S): \((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}\) có tâm I, bán kính R và đường thẳng \(\Delta\)

Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng \(\Delta\):

Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I (x_{0}, y_{0}, z_{0})\) và bán kính R.

Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có:

(S): \((x – x_{0})^{2} + (y – y_{0})^{2} + (z – z_{0})^{2} = R^{2}\)

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -5; -2) và bán kính R = 5

Cách giải

Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S):

\((x – 3)^{2} + (y – (-5))^{2} + (z – (-2))^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 25\)

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3)

Cách giải

Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu (S) có tâm I và bán kính.

\(r = \frac{AB}{2} = IA = IB\)

Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ \(I(\frac{4+2}{2};\frac{-3+1}{2};\frac{7+3}{2}) \Rightarrow I(3; -1; 5)\)

\(\Rightarrow \vec{IA} = (1; -2; 2)\)

\(\Rightarrow R = \left | \vec{IA} \right | = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}} = 3\)

Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S):

\((x – 3)^{2} + (y – (-1))^{2} + (z – 5)^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 5)^{2} = 9\)

Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.

Xem thêm: De Thi Toán Lớp 6 Học Kì 2 Năm 2021 (Có Đáp Án), 20 Đề Thi Thử Học Kì 2 Môn Toán Lớp 6 Năm 2020

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.

Cách giải

Gọi phương trình tổng quát (S): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a^{2} + b^{2} + c^{2} > d\) (1)

Mặt cầu (S) có tâm \(I (-a;-b;-c)\)

Từ đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & \\ 1 + 2c + d = 0 & \\ 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & \\ -a -b -c -2 = 0 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & \\ 2c + d = -1 & \\ 2a + 2b + 2c + d = -3 & \\ a + b +b c = -2 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -1 & \\ b = 0 & \\ c = -1 & \\ d = 1 & \end{matrix}\right.\)

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0\)