Để học xuất sắc Toán lớp 9, Top giải thuật biên soạn chăm đề sơ đồ tứ duy toán 9 chương 2 hình học. Chăm đề bao gồm sơ đồ bốn duy, triết lý và các dạng bài tập liên quan đến chương 2: Đường tròn. Đây là những kỹ năng rất quan trọng đặc biệt giúp các em học tốt Toán 9 cũng như đạt điểm trên cao môn Toán vào kỳ thi vào lớp 10 sắp tới tới.
Bạn đang xem: Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học
A. Sơ đồ tứ duy toán 9 chương 2 hình học- con đường tròn
1. Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học triết lý đường tròn
2. Sơ đồ bốn duy toán 9 chương 2 hình học những công thức mặt đường tròn
B. Kim chỉ nan Đường tròn
I. Sự khẳng định của mặt đường tròn, đặc điểm đối xứng của con đường tròn
1. Đường tròn
- Đường tròn trung ương O nửa đường kính R (R > 0) là hình gồm các điểm giải pháp điểm O một khoảng cách bằng R.
2. Vị trí tương đối của một điểm cùng với một đường tròn
- mang lại đường tròn trọng tâm (O;R) cùng điểm M.
+ M nằm trên phố tròn (O;R) ⇔ OM = R
+ M nẳm trong con đường tròn (O;R) ⇔ OM R
3. Cách khẳng định đường tròn
- Qua bố điểm không trực tiếp hàng ta vẽ được một và có một đường tròn.
4. đặc thù đối xứng của mặt đường tròn
- Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Vai trung phong của đường tròn là trung ương đối xứng của của mặt đường tròn đó.
- Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục ngẫu nhiên đường kính nào thì cũng là trục đối xứng của con đường tròn.
II. Dây của con đường tròn
1. đối chiếu độ dài của 2 lần bán kính và dây
- trong các dây của con đường tròn dây lớn số 1 là đường kính
2. Quan hệ nam nữ vuông góc giữa 2 lần bán kính và dây
- vào một con đường tròn, 2 lần bán kính vuông góc với cùng 1 dây thì trải qua trung điểm của dây ấy.
- vào một đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.
3. Contact giữa dây và khoảng cách từ trung khu đến dây
+ trong 1 đường tròn:
2 dây đều bằng nhau thì biện pháp đều tâm
2 dây giải pháp đều trọng điểm thì bằng nhau
+ vào 2 dây của 1 đường tròn
Dây như thế nào lớn hơn nữa thì dây kia gần tâm hơn
Dây nào bé dại hơn thì dây đó xa trung ương hơn
III. Vị trí tương đối của con đường thẳng với con đường tròn
1. Vị trí kha khá của mặt đường thẳng với đường tròn
- đến đường tròn trọng điểm (O;R) và mặt đường thẳng Δ, để d = d(O,Δ) khi đó:
Đường thẳng giảm đường tròn tại 2 điểm phân biệt ⇔ d
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ở một điểm ⇔ d=R
Đường trực tiếp và con đường tròn không giao nhau ⇔ d>R
- Khi mặt đường thẳng và con đường tròn tiếp xúc nhau thì mặt đường thẳng được hotline là tiếp tuyến đường của con đường tròn. Điểm tầm thường giữa con đường thẳng và con đường tròn hotline là tiếp điểm.
2. Dấu hiệu nhận biết tiếp con đường của đường tròn
- giả dụ 1 mặt đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì nó vuông góc với nửa đường kính đi qua tiếp điểm
- Nếu 1 mặt đường thẳng đi sang 1 điểm của đường tròn với vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường chiến thắng ẩy là tiếp tuyến đường cùa đường tròn.
3. đặc thù của hai tiếp tuyến cắt nhau
- Nếu hai tiếp tuyến đường cùa một đường tròn cắt nhau trên một điểm thì:
Điếm đó biện pháp đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ đặc điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo vì hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vị hai bán kính (đi qua các tiếp điểm)
4. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với tía cạnh cùa một tam giác được call là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được hotline là nước ngoài tiếp đường tròn.
- trọng điểm cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là giao điểm cùa các đường phân giác những góc trong tam giác.
5. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn xúc tiếp với một cạnh cùa một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh tê được điện thoại tư vấn là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
- chổ chính giữa cùa đường tròn bàng tiếp tam giác vào góc A là giao điểm cùa hai tuyến đường phân giác các góc không tính tại B với C, hoặc là giao điểm cùa mặt đường phân giác góc A và đường phân giác ngoại trừ tại B (hoặc C).
IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn
1. đặc thù đường nối tâm
- Đường nối tâm của hai đường tròn là trục đối xứng cùa hình bao gồm cà hai tuyến đường tròn đó.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì nhì giao điếm đồi xứng với nhau qua đường nối tâm.
- Nếu hai mặt đường tròn xúc tiếp nhau thì tiếp điểm nằm trê tuyến phố nối tâm.
2. Vị trí kha khá của hai tuyến phố tròn.
+ đến 2 đường tròn (O; R) và (O"; r) đặt OO"=d
- hai tuyến đường tròn cắt nhau tại 2 điểm ⇔ R-r
Tiếp xúc trong ⇔ d = R - r
Tiếp xúc ngoài ⇔ d = R + r
- hai đường trong không giao nhau
+ Ở bên cạnh nhau ⇔ d > R + r
+ O chứa O" ⇔ d 3. Tiếp tuyến bình thường của nhị đường tròn
- Tiếp tuyến thông thường cùa hai tuyến đường tròn là con đường thẳng tiếp xúc đối với cả hai đường tròn đó.
- Tiếp tuyến đường chung không tính là tiếp tuyến thông thường không cắt đoạn nối tâm.
- Tiếp tuyến bình thường trong là tiếp tuyến bình thường cắt đoạn nối tâm.
V. Contact giữa cung cùng dây
1. Định lí 1
+ Với hai cung nhỏ trong một con đường tròn hay trong hai đường tròn bởi nhau:
- nhị cung đều nhau căng nhị dây bởi nhau.
- hai dây cân nhau căng nhì cung bằng nhau.
2. Định lí 2
+ Với nhị cung bé dại trong một con đường tròn xuất xắc trong hai tuyến phố tròn bằng nhau:
- Cung to hơn căng dây khủng hơn.
- Dây to hơn căng cung lớn hơn.
3. Vấp ngã sung
+ trong một đường tròn, nhị cung bị chắn giữa hai dây tuy nhiên song thì bởi nhau.
+ vào một đường tròn, đường kính đi qua điếm ở trung tâm của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
+ trong một đường tròn, 2 lần bán kính đi qua trung điểm của một dây (không trải qua tâm) thì đi qua điếm ở chính giữa của cung bị căng vị dây ấy.
+ trong một đường tròn, 2 lần bán kính đi qua điếm vị trí trung tâm của một cung thì vuông góc cùng với dây căng cung ấy cùng ngược lại.
VI. Góc nội tiếp đường tròn
1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc tất cả đỉnh nằm trên phố tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của con đường tròn ấy.
- Cung nằm bên phía trong góc được gọi là cung bị chắn.
2. Định lí: vào một mặt đường tròn, số đo của góc nội tiép bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
+ trong một đường tròn:
- các góc nội tiếp cân nhau chắn những cung bởi nhau.
- các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung đều nhau thì bởi nhau.
- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bởi 90° có số đo bằng nửa số đo của góc làm việc tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa con đường trònlà góc vuông.
VII. Góc tạo vì chưng tiếp đường và dây cung
1. Định lí: Số đo của góc tạo vì chưng tiếp đường và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
2. Hệ quả: trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp đường và dây cung cùng góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì bằng nhau.
3. Định lí (bổ sung)
- trường hợp góc BAx (với đỉnh A nằm trên tuyến đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm phía bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp con đường của mặt đường tròn.
VIII. Góc ngơi nghỉ đỉnh mặt trong, cùng góc làm việc đỉnh phía bên ngoài đường tròn
Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở phía bên trong đường tròn bởi nửa tổng so đo nhị cung bị chắn.
Định lí 2: Số đo của góc gồm đỉnh ở bên phía ngoài đường tròn bởi nửa hiệu so đo nhì cung bị chắn.
IX. Cung đựng góc
1. Quỹ tích cung đựng góc
- cùng với đoạn trực tiếp AB cùng góc ∝ (00
Hai cung đựng góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng cùng nhau qua AB.
Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M chú ý đoạn thẳng AB mang đến trước bên dưới một góc vuông là mặt đường tròn 2 lần bán kính AB.
2. Bí quyết vẽ cung đựng góc ∝
Vẽ đường trung trực d của đoạn chiến hạ AB.
Vẽ tia Ax sinh sản với AB một góc ∝
Vẽ con đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay cùng với d.
Vẽ cung AmB, tâm O, nửa đường kính OA sao cho cung này nằm tại nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là 1 trong những cung cất góc ∝.
3. Biện pháp giải vấn đề quỹ tích
- Muốn minh chứng quỹ tích (tập hợp) những điếm M vừa lòng tính chất T là một hình H làm sao đó, ta phải minh chứng hai phần:
Phần thuận: phần đa điếm có tính chất T hầu như thuộc hình H.
Phần đảo: rất nhiều điểm ở trong hình H đều phải có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích những điếm M có tính chất T là hình H.
X. Tứ giác nội tiếp
1. Định nghĩa: Một tứ giác bao gồm bốn đỉnh vị trí một đường tròn được điện thoại tư vấn là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Định lí
- trong một tứ giác nội tiêp, tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o
- ví như một tứ giác gồm tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
3. Một vài dấu hiệu phân biệt tứ giác nội tiếp
- Tứ giác bao gồm bốn đỉnh nằm ở một mặt đường tròn là tứ giác nội tiếp mặt đường tròn.
- Tứ giác gồm tổng số đo 2 góc đối lập bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được con đường tròn.
- Tứ giác ABCD tất cả 2 đỉnh C với D sao cho
XI. Đường tròn nội tiếp, mặt đường tròn nước ngoài tiếp
1. Định nghĩa
- Đường tròn đi qua toàn bộ các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác với đa giác được gọi là nhiều giác nội tiếp mặt đường tròn.
- Đường tròn xúc tiếp với vớ cả các cạnh của một nhiều giác được gọi là con đường tròn nội tiếp đa giác cùng đa giác được điện thoại tư vấn là đa giác ngoại tiếp con đường tròn.
2. Định lí
- bất kể đa giác hầu hết nào cũng có thể có một và duy nhất đường tròn ngoại tiếp, bao gồm một và duy nhất đường tròn nội tiếp.
- chổ chính giữa của hai đường tròn này trùng nhau cùng được call là tâm của đa giác đều.
- trọng tâm này là giao điểm hai tuyến phố trung trực của nhị cạnh hoặc là hai đường phân giác của nhì góc.
* Chú ý:
- nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác là khoảng cách từ trọng điểm đến đỉnh.
- nửa đường kính đường tròn nội tiếp nhiều giác là khoảng cách từ tâm O cho 1 cạnh.
- cho n_ giác (đa giác gồm n cạnh) hầu như cạnh a. Lúc đó:
Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi)
Mỗi góc ngơi nghỉ đỉnh của nhiều giác có số đo bằng: 180o(n-2)/n
Mỗi góc ở chổ chính giữa của đa giác gồm số đo bằng: 360o/n
Bán kính con đường tròn nước ngoài tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)
Bán kính đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)
Liên hệ giữa nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: R2 - r2 = a2/4
Diện tích đa giác đều: S = (1/2)nar
XII. Độ dài đường tròn, cung tròn
1. Bí quyết tính độ dài mặt đường tròn (chu vi mặt đường tròn)
- Độ nhiều năm C của một đường tròn bán kính R được xem theo công thức C = 2πR hoặc C = πd(d=2R)
2. Cách làm tính độ dài cung tròn
Trên mặt đường tròn nửa đường kính R, độ lâu năm l của một cung no được tính theo công thức:
XIII. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
1. Phương pháp tính diện tích hình tròn
- diện tích s S của một hình tròn bán kính R được xem theo công thức: S = πR2
2. Cách làm tính diện tích hình quạt tròn
- diện tích hình quạt tròn nửa đường kính R cung no được tính theo công thức
C. Những dạng bài bác tập về đường tròn
Dạng 1: minh chứng nhiều điểm cùng thuộc 1 con đường tròn
* Phương pháp: Chứng minh những điểm sẽ cho phương pháp đều 1 điểm cho trước
Ví dụ: Cho tam giác ABC có bố góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao lần lượt là AD, BE, CF. Chứng tỏ rằng, bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
* Lời giải:
⇒ E cùng F cùng nằm trê tuyến phố tròn 2 lần bán kính BC.
⇒ Vậy tư điểm B,C,E,F cùng nằm bên trên một con đường tròn.
Dạng 2: Xác định chổ chính giữa và nửa đường kính của đường tròn nước ngoài tiếp
* Phương pháp:
- Tam giác thường: Vẽ hai tuyến phố trung trực, giao của 2 mặt đường trung trực là tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác
- Tam giác vuông: Tâm con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
- Tam giác cân: Tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác nằm trên tuyến đường cao hạ từ bỏ đỉnh xuống đáy tam giác.
- Tam giác đều: Tâm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực vai trung phong và chổ chính giữa đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 1: Tính bán kính của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân bao gồm cạnh góc vuông bằng a.
* Lời giải:
- Theo định lý pitago ta tính chiều lâu năm cạnh huyền, ta có:
- bởi vì tam giác vuông cân, cần tâm con đường tròn là trung điểm của cạnh huyền và chiều dài nửa đường kính là:
Ví dụ 2: Xác định trung ương và nửa đường kính của mặt đường tròn chổ chính giữa (O) ngoại tiếp tam giác phần đông ABC bao gồm cạnh bởi a.
* Lời giải:
Bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .Gọi O là giao điểm nhị đường chéo cánh ; M,N,R,S là hình chiếu của O theo lần lượt trên AB , BC, CD với DA . Minh chứng 4 điểm M,N,R,S trực thuộc một con đường tròn .
* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bởi nhau.
ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO
(vì cạnh huyền cân nhau ,góc nhọn bởi nhau)
* Suy ra OM = ON = OR = OS
* Vậy M,N,R,S ∈ O
Bài tập 2: Cho Δ ABC cân tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH cắt Đường tròn sống D .
1) Vì sao AD là 2 lần bán kính của (O) ?
2) Tính số đo góc ACD ?
3) Cho BC = 24 centimet ; AC = trăng tròn cm ;Tính độ cao AH và bán kính của (O)
* Lời giải:
1) Vì trung ương O là giao điểm của 3 đường trung trực của Δ ABC
Mà Δ ABC cân nặng ở A phải đường cao AH cũng đó là trung trực ⇒ O ∈ AH
⇒ AD là dây qua tâm ⇒ AD là mặt đường kính
2) Nối DC; OC
Ta bao gồm CO là trung tuyến cơ mà CO = AD/2 = R
⇒ Δ ACD vuông nghỉ ngơi C bắt buộc = 900
3) Vì AH là trung trực ⇒ bảo hành = HC = BC/2 =24/2 = 12
Xét Δ vuông AHC gồm :
Xét Δ vuông ACD bao gồm : AC2 = AH .AD
⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 centimet ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm
Bài tập 3: Cho đường tròn (O) 2 lần bán kính AB, điểm M thuộc đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN cắt đường tròn tại C, điện thoại tư vấn E là giao điểm của AC với BM.
1) chứng minh:NE ⊥ AB
2) hotline F là vấn đề đối xứng cùng với E qua M. Chứng tỏ FA là tiếp tuyến của con đường tròn (O)
3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Mang sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R
Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB, rước điểm C trê tuyến phố tròn làm sao cho AC = R.
1) Tính BC theo R và những góc của tam giác ABC.
Xem thêm: Cơ Sở Hạ Tầng Và Kiến Trúc Thượng Tầng Của Nước Ta Hiện Nay, Ví Dụ Cơ Sở Hạ Tầng Và Kiến Trúc Thượng Tầng
2) gọi M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Minh chứng tứ giác ACOD là hình thoi.
3) Tiếp tuyến đường tại C của mặt đường tròn cắt đường trực tiếp AB tại E. Chứng minh ED là tiếp con đường của con đường tròn (O)
4) hai tuyến đường thẳng EC và bởi vì cắt nhau trên F. Chứng minh C là trung điểm của EF
Bài tập 5: Cho hai tuyến phố tròn (O; R) cùng (O; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến đường chung bên cạnh BC. Cùng với B ∈ (O) với C (O")
1) Tính góc BÂC
2) Vẽ 2 lần bán kính BOD. Minh chứng 3 điểm C, A, D trực tiếp hàng
3) Tính DA.DC
4) Chứng minh OO’ là tiếp đường của đường tròn có đường kính BC, và tính BC?
Bài tập 6: Cho đường tròn vai trung phong O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H
1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF
2) ADCO là tứ giác nội tiếp
3) DC2 = DE.DB
4) AF.CH = AC.EC
5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)
6) Từ E kẻ đường thẳng tuy nhiên song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng