Một số phức là một trong biểu thức gồm dạng a + bi, trong số đó a, b là các số thực cùng số i nhất trí i2 = -1. Ký hiệu số phức sẽ là z và viết z = a + bi .
Bạn đang xem: Số phức i mũ n
*) Chú ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức cùng với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được hotline là số thuần ảo xuất xắc là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau.
đến z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
3. Màn biểu diễn hình học của số phức.
mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) cùng bề mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
mang lại hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
5. Phép nhân số phức.
đến hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
$zz"=aa"-bb"+(ab"-a"b)i$
6. Số phức liên hợp.
mang đến số phức z = a + bi. Số phức $overlinez$ = a – bi điện thoại tư vấn là số phức liên phù hợp với số phức trên.
Vậy $overlinez$ = $overlinea+bi$= a - bi
Chú ý: 10) $overlineoverlinez$ = z Þ z và $overlinez$ hotline là nhì số phức liên hợp với nhau.
20) z.$overlinez$ = a2 + b2
*) tính chất của số phức liên hợp:
(1): $overlineoverlinez=z$
(2):
(3):
(4): z.$overlinez$= $sqrta^2+b^2$(z = a + bi )
7. Môđun của số phức.
đến số phức z = a + bi . Ta ký hiệu $left| z ight|$ là môđun của số phư z, đó là số thực ko âm được xác minh như sau:
- nếu như M(a;b) trình diễn số phc z = a + bi, thì $left| z ight|$ = $$=$sqrta^2+b^2$
- nếu như z = a + bi, thì $left| z ight|$ = $sqrtz.overlinez$=$sqrta^2+b^2$
8. Phép phân tách số phức không giống 0.
mang lại số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch hòn đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z-1= $frac1a^2+b^2overlinez=frac1 z ight^2overlinez$
Thương $fracz"z$của phép phân chia số phức z’ đến số phức z ≠ 0 được khẳng định như sau:
$fracz"z=z.z^-1=fracz".overlinez^2$
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói bên trên nó cũng đều có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, phối hợp như các phép cộng, trừ, nhân, phân tách số thực thông thường.
B. Bài tập minh họa
Phương pháp:
Sử dụng những công thức cộng , trừ, nhân, phân tách và luỹ vượt số phức.Chú ý mang lại cưng: trong khi giám sát về số phức ta cũng rất có thể sử dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ như trong các thực. Ví dụ điển hình bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…Câu1: cho số phức z = $fracsqrt32-frac12i$ Tính các số phức sau: $overlinez$; z2; ($overlinez$)3; 1 + z + z2 |
Giải:
Vì z = $fracsqrt32-frac12i$ Þ $overlinez$ = $fracsqrt32+frac12i$Ta có z2 = $left( fracsqrt32-frac12i ight)^2$=Þ ($overlinez$)2 = $left( fracsqrt32+frac12i ight)^2=frac34+frac14i^2+fracsqrt32i=frac12+fracsqrt32i$
($overlinez$)3 =($overlinez$)2 . $overlinez$ = $left( frac12+fracsqrt32i ight)left( fracsqrt32+frac12i ight)=fracsqrt34+frac12i+frac34i-fracsqrt34=i$
Ta có: 1 + z + z2 = $1+fracsqrt32-frac12i+frac12-fracsqrt32i=frac3+sqrt32-frac1+sqrt32i$
Nhận xét: Trong vấn đề này, để tính $left( overlinez ight)^3$ta hoàn toàn có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong các thực.
Câu 2: tra cứu số phức phối hợp của: $z=(1+i)(3-2i)+frac13+i$ |
Giải:
Ta có : $z=5+i+frac3-i(3+i)(3-i)=5+i+frac3-i10$
Suy ra số phức phối hợp của z là: $overlinez=frac5310-frac910i$
Câu 3: tìm kiếm mô đun của số phức $z=frac(1+i)(2-i)1+2i$ |
Giải: Ta bao gồm : $z=frac5+i5=1+frac15i$
Vậy, mô đun của z bằng: $left| z ight|=sqrt1+left( frac15 ight)^2=fracsqrt265$
Câu 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i |
Giải:
Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Û (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
Câu 5: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 |
Giải:
Để tính toán bài này, ta để ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ vượt của đơn vị chức năng ảo như sau:
Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…
Bằng quy nạp dễ dàng chứng tỏ được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; " n Î N*
Vậy in Î -1;1;-i;i, " n Î N.
nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = $left( frac1i ight)^-n=left( -i ight)^-n$.
do vậy theo kết quả trên, ta thuận lợi tính được:
i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
Câu 6: Tính số phức sau: z = (1+i)15 |
Giải:
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.
Xem thêm: Tác Dụng Bột Sắn Dây - Uống Bột Sắn Dây Có Tốt Không
Câu 7: Tính số phức sau: z = |
Giải:
Ta có: $frac1+i1-i=frac(1+i)(1+i)2=frac2i2=i$
Þ $frac1-i1+i=-i$. Vậy
C. Bài xích tập tự luyện
Câu 1: điện thoại tư vấn $z_1$ và $z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$. Tính $P=z_1^4+z_2^4$
A.– 14 B. 14 C. -14i D. 14i
Câu 2: đến số phức $z=3+4i,$và $arz$ là số phức phối hợp của $z$. Phương trình bậc hai thừa nhận $z$ và $arz$ làm nghiệm là:
A. $z^2-6z+25=0$ B. $z^2+6z-25=0$
C. $z^2-6z+frac32i=0$ D. $z^2-6z+frac12=0$
Câu 3: đến số phức z bao gồm phần ảo âm và vừa lòng $z^2-3z+5=0$ . Kiếm tìm mô đun của số phức:$omega =2z-3+sqrt14$
A. 4 B. $sqrt17$ C. $sqrt24$ D. 5
Câu 4: call $z_1$ với $z_2$ thứu tự là nghiệm của phươngtrình: $z^2-2z+5=0$. Tính $mathbbF=left| z_1 ight|+left| z_2 ight|$
A. $2sqrt5$ B. 10 C. 3 D. 6
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:$(3+2i)z+(2-i)^2=4+i.$ Hiệu phần thực với phần ảo của số phức z là:
A. 1 B. 0 C. 4 D.6
Câu 6: cho số phức z thỏa mãn:$arz(1+2i)=7+4i$.Tìm tế bào đun số phức $omega =z+2i$.
A. 4 B. $sqrt17$ C. $sqrt24$ D. 5
Câu 7: Dạng z = a+bi của số phức $frac13+2i$ là số phức nào dưới đây?
A. $frac313-frac213i$ B. $frac313+frac213i$ C. $-frac313-frac213i$ D. $-frac313+frac213i$
Câu 8: Mệnh đề như thế nào sau đó là sai, khi nói đến số phức?
A. $z+arz$ là số thực B. $overlinez+z"=arz+arz"$ C. $frac11+i+frac11-i$ là số thực. D. $(1+i)^10=2^10i$
Câu 9: mang lại số phức $z=3+4i$. Lúc ấy môđun của $z^-1$ là:
A. $frac1sqrt5$ B. $frac15$ C. $frac14$ D. $frac13$
Câu 10: mang lại số phức $z=frac1+i1-i+frac1-i1+i$. Vào các kết luận sau kết luận nào đúng?