Toán 10: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Cho hai véc-tơ $ veca$ cùng $vecb$ phần đông khác $ vec0$. Tích vô vị trí hướng của hai véc-tơ $ veca$ và $vecb$, kí hiệu là $ vecacdot vecb$ là một trong những số, được xác định bởi $$ vecacdot vecb = left|veca ight |cdot left|vecb ight|cdot cos (veca,vecb) .$$

Quy ước, ví như $ veca=vec0$ hoặc $ vecb=vec0$ thì $ vecacdot vecb =0.$

Xem lại cách khẳng định góc thân hai véc-tơ: Góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.

Bạn đang xem: Tích vô hướng 2 vecto

Hai véc-tơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bởi $0$.

Tích vô hướng đó là công trong thứ lý. Cho một lực có độ béo $F$ ảnh hưởng lên vật làm vật dịch chuyển được quãng đường $s=OO’$. Lực $F$ hợp với hướng chuyển động $OO’$ một góc là $phi$ thì công nhưng mà lực $F$ sinh ra bao gồm độ to là $$A=F.s.cosphi.$$

*

1.2. đặc điểm của tích vô hướng

Với cha véc-tơ $ veca,vecb,vecc$ ngẫu nhiên và một số trong những thực $ k$, ta luôn có

$ vecacdot vecb=vecbcdotveca$ (tính chất giao hoán);$ veca(vecb+vecc)=vecacdotvecb+vecacdotvecc$ (tính chất phân phối);$ (kveca)cdotvecb=k(vecacdotvecb)$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với hệ trục $ (O;veci,vecj)$ đến hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ thì ta gồm $$ vecacdotvecb=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ khi còn chỉ khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô hướng 2 vecto

Độ dài của $ veca(x;y)$ được tính bởi cách làm $$ |veca|=sqrtx^2+y^2.$$Góc thân hai vectơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ bao gồm $$ cosleft(veca,vecb ight)=fracvecacdotvecbvecb=fracxx’+yy’sqrtx^2+y^2cdotsqrtx’^2+y’^2.$$Khoảng phương pháp giữa nhì điểm $ A(x_A;y_A)$ với $ B(x_B;y_B)$ được tính bởi phương pháp $$ AB=sqrtleft(x_B-x_A ight)^2+left(y_B-y_A ight)^2.$$

1.5. Bí quyết hình chiếu

Nếu nhì điểm $ A’,B’ $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ khởi hành thẳng $ CD, $ thì ta luôn có < overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowA’B’cdotoverrightarrowCD >Ngược lại, giả dụ hai điểm $ C’,D’ $ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ xuất hành thẳng $ AB $ thì< overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowABcdotoverrightarrowC’D’ >

2. Những dạng toán tích vô vị trí hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

Ví dụ 1. mang đến tam giác $ABC$ đều, cạnh bằng $ a $ và mặt đường cao $ AH $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$(2overrightarrowAB)cdot(3overrightarrowHC)$;$ (overrightarrowAB-overrightarrowAC)(2overrightarrowAB+overrightarrowBC). $

Ví dụ 2. mang lại tam giác đều $ ABC $ gồm cạnh bởi $ 3a. $ lấy hai điểm $ M,N $ thuộc đoạn $ AC $ làm sao để cho $ AM=MN=NC $. Tính các tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$overrightarrowACcdotoverrightarrowCB$;$overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN $.

Hướng dẫn.

Ta có: $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC=ABcdot ACcoswidehatBAC=3acdot 3acdotcos60^circ=frac9a^22.$Dựng $ overrightarrowCE=overrightarrowAC $ thì $left(overrightarrowAC,overrightarrowCB ight)=left(overrightarrowCE,overrightarrowCB ight)=widehatBCE=120^circ. $ Từ đó tính được, $overrightarrowACcdotoverrightarrowCB=-frac9a^22$.Để tính tích vô phía còn lại, ta phân tích những véctơ sử dụng quy tắc bố điểm như sau: eginalign*overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN&=left(overrightarrowAM-overrightarrowAB ight)left(overrightarrowAN-overrightarrowAB ight)\ &=overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN-overrightarrowABcdotoverrightarrowAM-overrightarrowABcdotoverrightarrowAN+overrightarrowAB^2 endalign*Thay số vào các tích vô phía trên, được đáp số $ frac13a^22 $.

Khi tính những tích vô hướng ta thông thường có hai hướng, tính trực tiếp bởi định nghĩa, hoặc so sánh thành các véctơ bao gồm mối contact đặc biệt với nhau (vuông góc, cùng hướng hoặc ngược phía với nhau). Hãy xem lấy ví dụ sau để rõ hơn về ý tưởng phát minh này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ tất cả $ M, N $ theo thứ tự là trung điểm của $ BC $ và $ CD $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM$;$overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN. $

Hướng dẫn.

Ta bao gồm $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM=overrightarrowABleft(overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)=overrightarrowAB^2+overrightarrowABcdotoverrightarrowBM=a^2. $Tương tự, cũng có thể có $ overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN=left( overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)left(overrightarrowAD+overrightarrowDN ight)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ với $ M $ là 1 điểm nằm trê tuyến phố tròn ngoại tiếp hình vuông. Tính những tích vô hướng:

$ left( overrightarrowAB+overrightarrowAD ight) cdotleft(overrightarrowBD+overrightarrowBC ight) $;$ left( 2overrightarrowAB-overrightarrowAD ight) cdot left( 2overrightarrowAC+overrightarrowAB ight) $;$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB+overrightarrowMCcdotoverrightarrowMD $.

Ví dụ 5. cho hai điểm $ A,B $ cố định và thắt chặt và $ k $ là hằng số. Tra cứu tập hợp những điểm $ M $ vừa lòng $$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB=k. $$

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: eginalignoverrightarrowMAcdotoverrightarrowMB&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)\&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI-overrightarrowIA ight)\&=MI^2-IA^2endalign vị đó, $ MI^2=k+IA^2 $, đề xuất có những khả năng:

Nếu $ k+IA^2 ví như $ k+IA^2=0 $, tập hợp điểm $ M $ là điểm $ I $.Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập vừa lòng điểm $ M $ là một trong những đường tròn trung ương $ I, $ bán kính $ R=sqrtk+IA^2 $.

Như vậy, tùy nằm trong vào số $ k $ cơ mà tập hợp điểm $ M $ là những tập khác nhau như trên.

Ví dụ 6. mang đến hai véctơ $ overrightarrowOA,overrightarrowOB $, call $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ phát xuất thẳng $ OA $. Minh chứng rằng $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

Hai điểm $A$ và $ B’ $ nằm ở cùng ở một bên so cùng với điểm $ O. $ lúc đó, $ coswidehatAOB=coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos0^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalignHai điểm $A$ cùng $ B’ $ nằm nhì phía đối với điểm $ O. $ khi đó, $ coswidehatAOB=-coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=-OAcdot OBcdotcoswidehatAOB’\&=-OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos180^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalign

Như vậy, vào cả hai trường hợp, ta đều phải sở hữu $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Ví dụ 7. đến đường tròn trọng tâm $ I, $ bán kính $ R $ cùng một điểm $ M $ bất kỳ. Một mặt đường thẳng qua $ M $ cắt đường tròn tại hai điểm $ A,B $. Chứng minh rằng quý hiếm của biểu thức $ P=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB $ ko đổi.

Hướng dẫn. Kẻ đường kính $ BB’ $ thì ta bao gồm $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng bí quyết hình chiếu trong lấy ví dụ trên, ta có: eginalignP&=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB\&=overrightarrowMBcdotoverrightarrowMB’\&=left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI+overrightarrowIB’ ight)endalign tuy vậy $ overrightarrowIB=-overrightarrowIB’$, buộc phải suy ra $$P= left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI-overrightarrowIB ight)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đó là một đại lượng ko đổi.

Ví dụ 8. cho tam giác $ABC$ vuông trên $ A $ cùng $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=4, overrightarrowACcdotoverrightarrowBC=9 $. Tính độ dài bố cạnh của tam giác.

Hướng dẫn. Ta tất cả $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ khởi hành thẳng $ AB $, vị đó: < 4=overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=overrightarrowABcdotoverrightarrowAB=AB^2 > Suy ra $ AB=2. $ tựa như có $ AC=3, $ và thực hiện Pytago được $ BC=sqrt13. $

Ví dụ 9. cho hình thang vuông $ ABCD $, con đường cao $ AB = 2a $, đáy to $ BC = 3a $, đáy nhỏ tuổi $ AD = a $.

Tính các tích vô phía $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCD,overrightarrowBDcdotoverrightarrowBC,overrightarrowACcdotoverrightarrowBD $.Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ left(overrightarrowAI,overrightarrowBD ight) $.

Hướng dẫn. sử dụng công thức hình chiếu hoặc so sánh theo nhì véctơ vuông góc cùng nhau là $ overrightarrowAB,overrightarrowAD. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ với điểm $ M $ thuộc cạnh $ AB $ làm thế nào cho $ AM=fraca3. $ Tính quý hiếm lượng giác $ coswidehatCMD $.

2.2. Chứng minh đẳng thức bằng tích vô hướng

Ví dụ 1. mang lại tam giác $ABC$ có trung tâm $ G $ và $ M $ là một trong điểm nằm trên phố thẳng đi qua $ G $ mặt khác vuông góc với $ BC. $ chứng tỏ rằng $$left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=0. $$ Hướng dẫn. Ta có $ left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=3overrightarrowMGcdotoverrightarrowBC=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ trung tâm là $ O $, cạnh bằng $ a $. Chứng minh rằng với mọi điểm $ M $ ta luôn luôn có:< MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 > Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=overrightarrowMA^2=left(overrightarrowMO+overrightarrowOA ight)^2=MO^2+OA^2+2overrightarrowMOcdotoverrightarrowOA. $$ làm tương tự so với $ MB,MC,MD $ và cộng từng vế những đẳng thức này được: eginalignMA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2overrightarrowMOleft(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD ight)\&=4MO^2+2a^2endalign vị $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD=vec0. $

2.3. Chứng tỏ hai mặt đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. minh chứng rằng với bốn điểm biệt lập $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn luôn có, $ AB $ vuông góc cùng với $ CD $ khi và chỉ còn khi< AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 >Hướng dẫn. Áp dụng bí quyết $ veca^2=|veca|^2 $, ta có:eginalign*AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\Leftrightarrow overrightarrowAC^2-overrightarrowAD^2&=overrightarrowBC^2-overrightarrowBD^2\Leftrightarrow left(overrightarrowAC-overrightarrowAD ight)left(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=left(overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)left(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=overrightarrowDCleft(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD-overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)&=0\Leftrightarrow 2overrightarrowDCcdotoverrightarrowAB&=0endalign* Điều này xảy ra, khi và chỉ khi hai tuyến phố thẳng $ AB $ và $ CD $ vuông góc cùng với nhau.

Chú ý rằng, ở bước thứ ba, ta không được “chia” nhì vế mang đến $ overrightarrowDC $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ cùng tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong khía cạnh phẳng tọa độ đến hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ tìm tọa độ điểm $M$ nằm trong trục $ Ox $ sao để cho tam giác $ MAB $ vuông trên $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong khía cạnh phẳng tọa độ đến tam giác $ABC$ bao gồm $A(1;2),B(5;3)$ với $C(-2;-2)$.

Tính chu vi tam giác $ABC$;Tính số đo các góc của tam giác $ABC$;Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, trung tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. mang đến tam giác $ ABC $ vuông cân nặng tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ cùng $ G(2/3,0) $ là trung tâm tam giác $ ABC $. Tìm tọa độ những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ overrightarrowAG=2overrightarrowGM Leftrightarrow A(0,2).$Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì vị $ M $ là trung điểm $ BC $ phải $ C(2-x_B,-2-y_B) $ cho nên tính được $$ overrightarrowAB,overrightarrowAC. $$Mặt khác, gồm tam giác $ ABC $ vuông cân tại $A$ khi và chỉ còn khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowAC=0 \ AB=AC endcases$$ Giải hệ này kiếm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ từ đó tìm kiếm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong khía cạnh phẳng toạ độ $ Oxy, $ mang đến tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ cùng với $ m e 0 $. Tìm kiếm tọa độ trung tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Xác minh $ m $ để tam giác $ GAB $ vuông trên $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=pm3sqrt6 $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-sqrt3,-1). $ kiếm tìm tọa độ trực vai trung phong và trung tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

Có $ H $ là trực chổ chính giữa tam giác $OAB$ khi và chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowOH=0\ overrightarrowAH.overrightarrowOB=0 endcases $$ Giải hệ này tìm được đáp số $H(sqrt3,-1).$Ta gồm $ I $ là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ còn khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này tìm kiếm được đáp số $I(-sqrt3,1)$.

Ví dụ 7. đến tứ giác $ABCD$ tất cả $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích s được tính bằng công thức $$S=frac12 ABcdot AD.$$

3. Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông vắn ABCD cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAD$ với $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$.

Bài 2. cho tam giác $ABC$ bao gồm $widehatA=90^circ;widehatB=60^circ$ với $AB=a$. Tính các tích vô phía $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;overrightarrowCAcdot overrightarrowCB$ và $overrightarrowACcdot overrightarrowCB$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại A tất cả $AB=AC=a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;;overrightarrowBAcdot overrightarrowBC$ cùng $overrightarrowABcdot overrightarrowBC$.

Bài 4. cho tam giác $ABC$ hầu như cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ và $overrightarrowBCcdot overrightarrowAB$.

Bài 5. Trong khía cạnh phẳng $ Oxy $ cho $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;frac32)$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $ A $.Tính độ dài những cạnh $AB,AC,BC$.

Bài 6. Tính góc thân hai vec tơ $overrightarrowa$ với $overrightarrowb$ trong những trường thích hợp sau

$overrightarrowa=(1;-2)$ với $overrightarrowb=(-1;-3)$.$overrightarrowa=(3;-4)$ và $overrightarrowb=(4;3)$.$overrightarrowa=(2;5)$ và $overrightarrowb=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. Call $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Minh chứng rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 8. mang đến hình thang vuông $ ABCD $ với con đường cao $ AD=h $ với hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm điều kiện của $ a,b $ với $ h $ để $ AC $ vuông góc cùng với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ và $ b $ nhằm $ AM $ vuông góc cùng với $ BD. $

Bài 9. minh chứng rằng với tứ điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0 >Suy ra ba đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. mang lại tam giác $ABC$, trên những cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài những tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân nặng tại $ A $. điện thoại tư vấn $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn trọng tâm $ O $. Hotline $ BH,CK $ là những đường cao của tam giác. Chứng tỏ rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 12. đến tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ cùng với $ O $ là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 13. đến tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trọng điểm $ O $ cùng một điểm $ H $. Minh chứng rằng $ H $ là trực vai trung phong của tam giác $ ABC $ khi còn chỉ khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 14. mang lại tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Gọi $ H,K $ tương xứng là trực tâm của những tam giác $ OAB,OCD $. Hotline $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng tỏ rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 15. đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Gọi $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Minh chứng rằng $ IE $ vuông góc cùng với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 16. cho góc vuông $ xSy $ và con đường tròn $ (O) $ giảm $ Sx $ trên $ A,B $ với $ Sy $ trên $ C,D $. Chứng minh rằng trung đường vẽ từ bỏ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 17. Trong phương diện phẳng $ Oxy $ mang đến hai điểm $A(2;4)$ với $B(1;1)$. Search tọa độ điểm $ C $ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $ B $.

Bài 18. mang đến tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ cùng $C(2;0)$.

Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ABC$.Tìm tọa độ điểm M biết $overrightarrowCM=2overrightarrowAB-3overrightarrowAC$.Tìm vai trung phong và bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong khía cạnh phẳng $Oxy$ đến 4 điểm $A,B,C,D$ với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ cùng $D(0;-2)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong mặt phẳng $Oxy$ đến 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Chứng tỏ rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. Hotline $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng tỏ rằng $ AM $ vuông góc cùng với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với con đường cao $ AD=h $ với hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ và $ h $ nhằm $ AC $ vuông góc cùng với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ với $ b $ nhằm $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 23. đến tam giác $ABC$. Với điểm $ M $ tùy ý, minh chứng rằng$$overrightarrowMAcdot overrightarrowBC+overrightarrowMBcdot overrightarrowCA+overrightarrowMCcdot overrightarrowAB=0$$

Bài 24. cho $ O $ là trung điểm của đoạn trực tiếp $ AB $ với $ M $ là một điểm tùy ý. Chứng tỏ rằng $overrightarrowMAcdot overrightarrowMB=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. đến tam giác $ABC$ có bố đường trung tuyến đường là $ AD, BE, CF $. Chứng minh rằng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAD+overrightarrowCAcdot overrightarrowBE+overrightarrowABcdot overrightarrowCF=0$.

Bài 26. mang lại hình chữ nhật $ ABCD $ có $AB=a$ với $AD=asqrt2$. Call $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Chứng minh $BKperp AC$.

Bài 27. cho tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $. Gọi $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ bên trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Chứng minh $AMperp BD$.

Bài 28. cho tam giác $ABC$. Gọi $ H $ là trực trọng điểm của tam giác và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng $overrightarrowMHcdot overrightarrowMA=frac14BC^2$.

Bài 29. cho tứ giác $ ABCD $ bao gồm hai đường chéo $ AC $ với $ BD $ vuông góc cùng nhau và cắt nhau trên $ M $. Hotline $ p. $ là trung điểm của $ AD $. Chứng minh$$MPperp BC Leftrightarrow overrightarrowMAcdot overrightarrowMC=overrightarrowMBcdot overrightarrowMD$$

Bài 30. chứng minh rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ ngẫu nhiên ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0. > từ bỏ đó chứng minh ba con đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. mang lại tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài những tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân nặng tại $ A $. điện thoại tư vấn $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 32. mang lại tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn tâm $ O $. Gọi $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Chứng tỏ rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 33. cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ cùng với $ O $ là trọng điểm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là trung tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 34. mang đến tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn trung tâm $ O $ với một điểm $ H $. Chứng minh rằng $ H $ là trực trọng tâm của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 35. mang lại tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Gọi $ H,K $ khớp ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. điện thoại tư vấn $ I,J $ khớp ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng tỏ rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 36. đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ với $ I $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Call $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng minh rằng $ IE $ vuông góc cùng với $ CD $ khi và chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 37. cho góc vuông $ xSy $ và con đường tròn $ (O) $ giảm $ Sx $ trên $ A,B $ cùng $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng minh rằng trung con đường vẽ tự $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 38. đến tam giác không cân $ ABC $. Hỏi tam giác này phải thỏa mãn điều khiếu nại gì để con đường thẳng Euler của nó vuông góc với trung con đường qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm các cạnh của một tứ giác lồi kẻ những đường thẳng vuông góc cùng với cạnh đối diện. Minh chứng rằng ví như ba trong những các con đường đó đồng quy thì cả tứ đường thẳng đồng quy.

Bài 40.

Xem thêm: Đề Thi Giữa Kì 2 Vật Lý 8 Môn Vật Lý, Bộ Đề Thi Giữa Học Kì 2 Lớp 8 Môn Vật Lý

Trong phương diện phẳng đến $ n $ điểm biệt lập $ A_1,A_2,…,A_n $, cùng $ n $ số thực khác không $ lambda_1,lambda_2,…,lambda_n $ sao để cho $ A_iA_j^2=lambda_i+lambda_j $. Chứng minh rằng $ n leqslant 4 $ và nếu $ n=4 $ thì $ frac1lambda_1+frac1lambda_2+frac1lambda_3+frac1lambda_4=0 $.