Số phức và những dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng với khá khó hiểu, 1 phần nguyên nhân là bọn họ đã quá quen cùng với số thực trong những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Công thức số phức thường dùng


Vì vậy, ở bài viết này orsini-gotha.com sẽ khối hệ thống lại những dạng toán về số phức bên cạnh đó hướng dẫn cách giải các dạng bài tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài xích tập số phức, chúng ta cũng cần nhớ các nội dung về định hướng số phức.

I. định hướng về Số phức

1. Số phức là gì?

• Định nghĩa số phức

- Tập đúng theo số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
, 
*

2. Màn trình diễn hình học của số phức

- Số phức: , () được biểu diễn bởi điểm M(a,b) xuất xắc bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang lại 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
*

♦

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- đến 2 số phức: , lúc đó:

♦

*
 
*

♦

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
; 
*
; 
*
; 
*
; 
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- đến số phức: , thì:

♦

*

♦ 

*
; 
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 bao gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 bao gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- cho phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là những số phức cho trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là một acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân chia số phức bên dưới dạng lượng giác

- mang đến z = r(cosφ + isinφ) với z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

•

*

12. Cách làm Moivre (Moa-vrơ).

•

*
, 
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm n căn bậc n là:

 

*
, 
*

II. Những dạng toán về Số phức và biện pháp giải

• Dạng 1: các phép tính về số phức

* cách thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ quá và đặc thù phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi thống kê giám sát các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng xuất xắc hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang đến số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng thứ nhất của 1 cấp cho số nhân với số hạng thứ nhất là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

• Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương thức giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép biến đổi để giải quyết bài toán.

° ví dụ như 1: tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức yêu cầu tìm là 1 + i và 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, và z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

• Dạng 3: xác định phần thực phần ảo, kiếm tìm đối số, nghịch hòn đảo module, liên hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài xích toán tương quan tới đặc điểm của số phức.

♦ loại 1: tìm phần thực phần ảo của số phức

- cách giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho gồm phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho tất cả phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức sẽ cho tất cả phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ loại 2: trình diễn hình học tập của số phức

- giải pháp giải: sử dụng điểm M(a;b) màn trình diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn trình diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là trình diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có trình diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn biểu diễn hình học của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- phương pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- có

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ một số loại 4: tra cứu số đối của số phức

- bí quyết giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ nhiều loại 5: tìm kiếm số phức liên hợp của số phức z

- biện pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
, 
*

- lúc đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ loại 6: kiếm tìm số phức nghịch đảo của số phức

- biện pháp giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
, 
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

♦ Loại 7: Tìm những số thực lúc 2 số phức bằng nhau.

- giải pháp giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y làm thế nào để cho z = x + yi thỏa mãn z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

• Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp các điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* phương pháp giải:

♦ loại 1: Số phức z hài lòng về độ lâu năm (module) lúc ấy ta áp dụng công thức 

♦ một số loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi ấy ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hòa hợp điểm M màn biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hòa hợp điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) điện thoại tư vấn N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

c) call I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

• Dạng 5: Chứng minh những biểu thức về số phức

* cách thức giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Triệu chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- trường đoản cú (1) cùng (2) gồm VT=VP (đpcm)

• Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* cách thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được call là căn bậc 2 của số phức z trường hợp w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.

- giữ ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta bao gồm 2 trường hợp dễ dàng và đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, giỏi x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong các số ấy a, b, c là các số phức a≠0

- cách giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 lúc đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên bao gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, search m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn m=a+bi với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta bao gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình vẫn cho có 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

• Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và mang về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dìm thấy, z=0 không hẳn nghiệm của phương trình nên chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) bao gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, lúc đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận biết z=0 không phải là nghiệm của phương trình đề xuất chia 2 vế pt mang đến z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
; 
*

• Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn cơ cho hàng loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, phương pháp Euler.

- phương pháp 1: 

*

- bí quyết 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được hotline là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ vượt ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
; 
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính cực hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình đã cho gồm 2 nghiệm: 

*

- khía cạnh khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã cho trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi vì z=-1 chưa hẳn là nghiệm của phương trình cần nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

• Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* phương thức giải: Vận dụng kiến thức tìm cực trị

° ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z gồm modul bé dại nhất.

Xem thêm: Đặc Điểm Nào Sau Đây Không Phải Của Lực Đàn Hồi Không Có Đặc Điểm Nào Sau Đây:

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Vị vậy các điểm M trình diễn số phức z thoả mãn việc nằm trên tuyến đường tròn chổ chính giữa I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất khi và chỉ khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Lúc đó M là giao điểm của (C) và mặt đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và 

*