Giải Bài Tập Sgk Toán 11 Ôn Tập Chương 3, Ôn Tập Chương Iii

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi nào thì cấp cho số cùng là hàng số tăng, hàng số giảm?

Lời giải:

Ta có: un+1 – un = q => (un) là hàng số tăng nếu như công không đúng q > 0, dãy số sút nếu công sai q 1 0

b.q n = u1.qn-1 ∀n > 1, q > 0, u1 un 1

b.Nếu q n = u1.qn-1 = (-1)n .|u1|.|qn-1| ∀ n > 1

un > 0 trường hợp n chẵn, với un n), (vn) tất cả công sai lần lượt là d1, d2 cùng các số hạng bằng nhau, nghĩa là:

u1, u2, …, un (1) cùng v1, v2,…, vn (2)

Xét hàng số (an) cùng với an = un + vn , n ∈ N*

a1 = u1 + v1

a2 = u2 + v2 = u1 + d1 + v1 + d2 = (u1 + v1 ) + (d1 + d2)

an = un + vn = u1 + (n – 1)d1 + v1 + ( n – 1)d2

= (u1 + v1) + (n – 1)(d1 + d2)

Điều đó cho thấy thêm dãy số mà mỗi số hạng là tổng các số hạng tương ứng của hai cấp số cộng (1) với (2) cũng là 1 trong những cấp số cùng với công sai bằng tổng các công sai của hai cấp cho số cộng kia.

Bạn đang xem: Toán 11 ôn tập chương 3

Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: d1 = 3

20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d2 = – 2

Dãy tổng những số hạng khớp ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cấp cho số cộng gồm công sai

d = d1 + d2 = 3 + (-2) = 1.

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cung cấp số nhân tất cả cùng những số hạng. Tích những số hạng tương ứng của chúng gồm lập thành cung cấp số nhân không? vì sao? cho 1 ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử tất cả hai cấp cho số nhân (un), (vn) cùng với công bội khớp ứng q1 và q2.

Xét dãy số (an) cùng với an = un.vn

Ta có: un = u1.q1n-1 vn = v1.q2n-1

an = un.vn = (u1v1).(q1q2)n-1

vậy hàng số (an) là cung cấp số nhân với công bội q = q1q2.

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 phân tách hết cho 6

b. 3n3 + 15 phân tách hết mang lại 9

Lời giải:

a. Xét un = 13n – 1

ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

giả sử: uk = 13k – 1 phân tách hết mang lại 6

Ta có: uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk

=> uk+1 là tổng hai số hạng, từng số hạng phân chia hết đến 6.

Vậy uk+1 chia không còn số 6

Như vậy, từng số hạng của hàng số (un) rất nhiều chia hết mang đến 6 ∀n ∈ N*

b. 3n3 + 15n phân tách hết cho 9

Đặt un = 3n3 + 15n

+ với n = 1 => u1 = 18 phân chia hết 9

+ đưa sử cùng với n = k ≥ 1 ta có:

uk = (3k2 + 15k) phân tách hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta bệnh minh: uk+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 ) = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18 = (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Theo giả thiết uk chia hết 9, hơn thế nữa 9(k2 + k + 2) phân tách hết 9 k ≥ 1

Do kia uk+1 cũng chia hết mang đến 9.

Vậy un = 3n3 + 15n phân tách hết đến 9 ∀n ∈ ∈ N*

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu hàng là:

u1 = 2; u2 = 2u1 – 1 = 3; u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Bệnh minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương thức quy nạp:

Với n = 1 => u1 = 21-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (un) đúng với n = k ≥ 1

Tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta phải chứng minh phương trình đã mang đến đúng với n = k + 1 nghĩa là:

uk+1 = 2k+1-1 + 1 = 2k + 1

Theo đưa thiết: uk+1 =2uk-1

(1) uk+1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k.2-1 + 2 – 1 = 2k + 1

Biểu thức đã đến đúng cùng với n = k + 1, vậy nó đúng cùng với n ∈ N*

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, bớt và bị chặn của những dãy số (un), biết:

Lời giải:

vì là dãy tăng buộc phải u1 = 2 2 3 n ∀n ∈ N*

=> un > 2 => (un) bị ngăn dưới.

Vì un = n + 1 > n ∀n ∈ N*

=> (un) không biến thành chặn trên. Vậy un không bị chặn.

=> u1 > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0

Và u1 > u2; u2 > u3; u3 > u4; …

Vậy hàng số (un ) ko tăng, không giảm => (un) không đối kháng điệu.

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công không đúng d của những cấp số cộng (un), biết:

Lời giải:

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công không đúng d của các cấp số cùng (un), biết:

Lời giải:

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ giác ABCD tất cả số đo của các góc lập thành một cấp cho số cùng theo trang bị tự A, B, C, D. Biết rằng góc C vội vàng 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D ( ∠A > 0) chế tạo thành cấp cho số cộng:

Vậy ∠B=∠A + d, ∠C=∠A + 2d, ∠D= ∠A+3d.

Theo mang thiết ta có:∠ C =5∠A => ∠A + 2 chiều = 5∠A 2 chiều = 4∠A

Mặt không giống ∠A + B ∠ + C ∠ + ∠D =360o

=> ∠A + ∠A +d + ∠A +2d + ∠A +3d = 360o

4∠A + 12∠A = 360o 16∠A = 360o ∠A= 22o30′, d=45o

Vậy ∠B = 67o30′; ∠C = 112o30’; ∠D = 157o30′

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng cha x, y, z lập thành một cấp cho số nhân và bố số x, 2y, 3z lập thành một cấp cho số cộng. Tìm kiếm công bội của cấp cho số nhân.

Lời giải:

Cấp số nhân (un) gồm công bội q hoàn toàn có thể viết dưới dạng:

u1,u1q,u1q2,…,u1qn-1

vì x, y, z lập thành cấp số nhân nên: y = x.q, z = x.q2 (1)

Mặt khác x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng nên (x+3z)/2= 2y (2)

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta xây dựng một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nữa diện tích s đế tháp. Biết diện tích s mặt đế tháp là 12.288m2. Tính diện tích s mặt trên cùng.

Lời giải:

Gọi S là diện tích dưới mặt đáy của tháp

S = 12.288 m2

Gọi S1, S2, S3…S11 là diện tích bề mặt của từng tầng.

Diện tích của tầng một bởi nửa diện tích s của đáy tháp

Vậy diện tích s mặt bên trên cùng chính là diện tích tầng tháp sản phẩm công nghệ 11 nên:

Bài 13 (trang 108 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng nếu những số a2, b2, c2 lập thành một cung cấp số cộng (a, b, c ≠ 0) thì những số 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) cũng lập thành một cung cấp số cộng.

Lời giải:

Đẳng thức (1) thỏa khi a2, b2, c2 là cung cấp số cộng.

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un), biết un = 3n. Nên lựa chọn phương án đúng:

a. Số hạng un+1 bằng:

A. 3n + 1

B. 3n + 3.

C. 3n.3

D. 3(n+1)

b. Số hạng u2n bằng:

A. 2.3n

B. 9n

C. 3n + 3

D. 6n

c. Số hạng un-1 bằng:

A. 3n – 1

B. 3n/3

C. 3n – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u2n-1 bằng:

A. 32.3n – 1

B. 3n.3n-1

C. 32n – 1

D. 32(n-1)

Lời giải:

a. Un+1 = 3n+1 = 3n.3.

Chọn lời giải C

b. Un = 3n = (32)n = 9n.

Chọn lời giải B.

c. Un-1 = n-1 = 3n.3-1 = 3n/3 .

Chọn giải đáp B.

d. U2n-1 = 32n-1 = 32n.3-1 = 3n.3n-1.

Chọn lời giải B

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho biết dãy số (un) như thế nào dưới đây là dãy số tăng, giả dụ biết bí quyết số hạng bao quát un của nó là: