Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) khẳng định trên

Nếu tồn tại số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì giới hạn này call là tích phân suy rộng của f(x) bên trên
Bạn đang xem: Ứng dụng của tích phân suy rộng

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

*
là quy tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là cực kỳ hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng lớn

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(do

*
)

Vậy: I quy tụ và

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan lại trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Lúc đó:

*

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo lấy ví dụ như trên ta bao gồm chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường vừa lòng f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) và g(x) không âm cùng khả tích trên , cùng f(x) ≤ g(x) ở sát bên +∞ ( có nghĩa là x đủ lớn). Khi đó:

Nếu
*
quy tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm với cùng khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở sát bên +∞ ( tức là x đầy đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự quy tụ của tích phân

*
, ta phải xây dựng hàm g(x) sao để cho
*
. Nghĩa là, f(x) với g(x) là nhì lượng tương đương.

Muốn vậy, ta buộc phải nhận diện và thay thế sửa chữa các VCB, VCL (khi x → +∞ ) tất cả trong f(x) bằng những VCB, VCL tương đương. Mặc dù nhiên, cần chú ý cả nhị hàm f(x) cùng g(x) đề nghị cùng khả tích bên trên

1.5 những ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác minh và thường xuyên với phần đa x thuộc
*
.

Khi

*
: lnx là VCL nhưng không kiếm được VCL tương tự tương ứng. Bởi vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.

Ta rất có thể dùng vệt hiệu đối chiếu 1. Mong vậy, đề xuất chặn hàm lnx. Ta tiện lợi có bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( vày tích phân

*
phân kỳ).

Ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

để mắt tới hàm rước tích phân, ta thấy:

lúc

*

*
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) cùng g(x) thuộc khả tích bên trên <1;+∞) phải

*
và
*
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác:

*
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

*
ta có:

*
x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) khẳng định và tiếp tục với mọi

*
, còn g(x) không khẳng định tại x = 0 nên ta không thể cần sử dụng dấu hiệu đối chiếu 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– vày

*
x}1+x^2 " class="latex" /> xác định và tiếp tục trên <0;1> phải
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân xác minh nên hội tụ.

Xem thêm: 14 Công Dụng Của Hoa Đau Biec, Cách Sử Dụng Hoa Đậu Biếc Khô Hoặc Tươi

–

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> đề nghị hội tụ.