Vi Ét

Cho phương trình bậc nhì $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$ giả dụ (x_1,x_2) là hai nghiệm của phương trình thì (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac - ba\x_1 cdot x_2 = dfraccaendarray ight..)

Ví dụ: Phương trình (2x^2-5x+2=0) tất cả ( Delta=9>0) yêu cầu phương trình bao gồm hai nghiệm (x_1;x_2).

Bạn đang xem: Vi ét

Theo hệ thức Vi-ét ta có: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = dfrac 52\x_1 cdot x_2 = dfrac22=1endarray ight..)

Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

+) Xét phương trình bậc hai: $ax^2 + bx + c = 0,(a e 0).$

 Nếu phương trình có (a + b + c = 0) thì phương trình gồm một nghiệm là (x_1 = 1,) nghiệm kia là (x_2 = dfracca.)

Nếu phương trình gồm (a - b + c = 0) thì phương trình gồm một nghiệm là (x_1 = - 1,) nghiệm kia là (x_2 = - dfracca.)

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : trường hợp hai số gồm tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì nhì số đó là hai nghiệm của phương trình $X^2 - SX + p = 0$ (ĐK: $S^2 ge 4P$)

Ví dụ: 

+ Phương trình (2x^2-9x+7=0) có (a+b+c=2+(-9)+7=0) nên bao gồm hai nghiệm (x_1=1;x_2=dfracca=dfrac72)

+ Phương trình (2x^2+9x+7=0) gồm (a-b+c=2-9+7=0) nên gồm hai nghiệm (x_1=-1;x_2=-dfracca=-dfrac72)

2. Những dạng toán thường gặp

Dạng 1: ko giải phương trình, tính cực hiếm biểu thức liên quan giữa những nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình bao gồm nghiệm : $left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.$. Từ bỏ đó vận dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = x_1 + x_2 = - dfracba$ cùng $P = x_1x_2 = dfracca$.

Bước 2 : Biến thay đổi biểu thức đối xứng giữa những nghiệm của đề bài xích theo tổng $x_1 + x_2$ và tích $x_1x_2$, kế tiếp áp dụng cách 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường chạm chán là :

+) $A = x_1^2 + x_2^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2= S^2 - 2P$

+) $B = x_1^3 + x_2^3$

$= left( x_1 + x_2 ight)^3 - 3x_1x_2left( x_1 + x_2 ight)= S^3 - 3SP$

+) $C = x_1^4 + x_2^4 = left( x_1^2 + x_2^2 ight)^2 - 2x_1^2x_2^2$

$= left< left( x_1 + x_2 ight)^2 - 2x_1x_2 ight>^2 - 2left( x_1x_2 ight)^2= left( S^2 - 2P ight)^2 - 2P^2$

+) $D = left| x_1 - x_2 ight| $

$= sqrt left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2 $.

+)

$E = left( x_1 - x_2 ight)^2 = left( x_1 + x_2 ight)^2 - 4x_1x_2$

$= S^2 - 4P $.

Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.

+) nếu như phương trình tất cả $a + b + c = 0$ thì phương trình tất cả một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm tê là $x_2 = dfracca.$

+ ) giả dụ phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm tê là $x_2 = - dfracca.$

+) giả dụ $x_1,x_2$ là nhị nghiệm của phương trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\P = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.

Dạng 3 : so với tam thức bậc nhì thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc nhì $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ tất cả hai nghiệm $x_1$ cùng $x_2$ thì nó được đối chiếu thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.

Dạng 4 : Tìm nhì số khi biết tổng với tích

Phương pháp :

Để tìm hai số $x,y$ lúc biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:

Bước 1: Xét đk $S^2 ge 4P$. Giải phương trình $X^2 - SX + phường = 0$ nhằm tìm những nghiệm $X_1,X_2$.

Bước 2: khi đó những số phải tìm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.

Dạng 5 : bài xích toán tương quan đến dấu những nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). Lúc đó:

1. Phương trình bao gồm hai nghiệm trái vệt ( Leftrightarrow ac 0\P > 0endarray ight.).

3. Phương trình gồm hai nghiệm dương rành mạch ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S > 0endarray ight.).

4. Phương trình tất cả hai nghiệm âm sáng tỏ ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S Dạng 6 : xác minh điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn nhu cầu điều kiện cho trước.

Phương pháp :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình bao gồm nghiệm (left{ eginarrayla e 0\Delta ge 0endarray ight.).

Bước 2. Từ hệ thức đã mang đến và hệ thức Vi-ét, tìm kiếm được điều khiếu nại của tham số.

Bước 3. Kiểm tra đk của tham số xem có thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại ở cách 1 hay không rồi kết luận.

Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : $ax^2 + bx + c = 0 m left( a e 0 ight)$.

+) nếu phương trình tất cả $a + b + c = 0$ thì phương trình gồm một nghiệm $x_1 = 1$, nghiệm cơ là $x_2 = dfracca.$

+ ) trường hợp phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình tất cả một nghiệm $x_1 = - 1$, nghiệm cơ là $x_2 = - dfracca.$

+) trường hợp $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì $left{ eginarraylS = x_1 + x_2 = - dfracba\P = x_1x_2 = dfraccaendarray ight.$.

Dạng 3 : so sánh tam thức bậc nhị thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc nhì $ax^2 + bx + c m left( a e 0 ight)$ tất cả hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì nó được so với thành nhân tử: $ax^2 + bx + c = aleft( x - x_1 ight)left( x - x_2 ight)$.

Dạng 4 : Tìm nhị số lúc biết tổng với tích

Phương pháp :

Để tìm nhị số $x,y$ lúc biết tổng $S = x + y$ với tích $P = xy$, ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện $S^2 ge 4P$. Giải phương trình $X^2 - SX + phường = 0$ nhằm tìm những nghiệm $X_1,X_2$.

Bước 2: lúc đó những số yêu cầu tìm $x,y$ là $x = X_1,y = X_2$ hoặc $x = X_2,y = X_1$.

Dạng 5 : bài toán liên quan đến dấu những nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình (ax^2 + bx + c = 0left( a e 0 ight)). Khi đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái vết ( Leftrightarrow ac 0\P > 0endarray ight.).

Xem thêm: Hướng Dẫn Làm Ghost Đa Cấu Hình Bằng Easy Sysprep, Cách Tạo Ghost Đa Cấu Hình Windows Xp/ 7/ 8

3. Phương trình gồm hai nghiệm dương rõ ràng ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S > 0endarray ight.).

4. Phương trình tất cả hai nghiệm âm khác nhau ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\P > 0\S Luyện bài tập áp dụng tại đây!